A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B.
Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte.
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°
A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de
A) 90° no sentido horário.
B) 135° no sentido horário.
C) 180° no sentido anti-horário.
D) 270° no sentido anti-horário
E) 315° no sentido horário.
Resolução em texto
Informações Iniciais
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria plana (ângulos e rotações).
- Nível da Questão: Médio.
- Gabarito: Alternativa B (135° no sentido horário).
- Tema/Objetivo Geral (Opcional): Analisar a rotação de um quadrado que gira em torno de um ponto de fixação e determinar o ângulo mínimo para retornar à posição original.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
A tela quadrada foi fixada pelos pontos A e B e, após se desprender de um dos pontos, girou 45° em torno do outro ponto, ficando inclinada. Para colocá-la novamente na posição original, deve-se girar a tela pelo menor ângulo possível, inferior a 360°.
🔹 Explicação Detalhada:
Precisamos encontrar a rotação mínima que leve a tela de volta à sua posição inicial. A tela, agora inclinada 45° em relação à horizontal, é um quadrado que pode ser rotacionado tanto no sentido horário quanto anti-horário. Entre as possíveis rotações, escolhemos aquela que seja menor que 360° e leve o quadrado à mesma orientação original.
✔ Identificação de Palavras-chave:
- “rotacionar a tela”
- “ângulo de 45°”
- “menor ângulo possível, menor que 360°”
✔ Definição do Objetivo:
Determinar o ângulo (magnitude e sentido de rotação) que recoloca a tela em sua orientação inicial, sem ultrapassar 360° e sendo o menor possível.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Rotação de figuras planas: ao girar um quadrado em torno de um ponto de fixação, ele pode retornar à posição original em ângulos múltiplos de 90°, 180°, 270°, 360°, etc.
- Sentido de rotação: horário ou anti-horário.
- Ângulos complementares e suplementares: 45°, 90°, 135°, 180°, etc.
🔹 Fórmulas e Definições (em letras comuns e em negrito):
- Soma de ângulos de rotação = 360°
- Ângulo mínimo de rotação: a menor medida de giro que retorne o objeto à orientação inicial.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- O quadro estava inicialmente “alinhado” com a horizontal.
- Depois, ficou inclinado 45° em relação à horizontal.
- Para voltar ao estado inicial, pode-se girar no sentido horário ou anti-horário. Precisamos do ângulo de rotação mais curto.
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “Ficou 45° inclinado.”
- “Menor ângulo possível (menor que 360°).”
🔹 Tradução para Termos Matemáticos:
- Quadrado gira 45°. Agora, para ficar novamente “alinhado,” a rotação total deve ser múltiplo de 90°, pois um quadrado retorna a uma orientação idêntica a cada 90° de rotação.
- Podemos girar 45° + 90° = 135° no sentido horário ou 45° no sentido anti-horário e, se for 45° anti-horário, não alinha. Precisamos analisar as possibilidades.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Tela em 45°: Se girarmos apenas 45° no sentido anti-horário, a tela ficaria 0°? Não, pois a rotação de 45° no sentido anti-horário a deixaria no mesmo ângulo de antes, porém invertida. A face não coincide com a orientação original, pois seria um quadrado “giratório.”
- Múltiplos de 90°: Um quadrado volta à mesma posição aparente quando gira 90°, 180°, 270°, ou 360°. Precisamos ver qual soma com 45° resulta em um desses múltiplos.
- Sentido Horário: 45° + 90° = 135°, que é um giro total que reposiciona o quadrado para a orientação original.
- Outras Opções: 45° + 45° = 90°, mas isso seria anti-horário e não funcionaria, pois a parte de cima não ficaria para cima (o quadrado teria girado apenas 90° em relação à posição inclinada). Se fosse 315°, seria muito grande. Então, 135° no sentido horário é o giro mínimo.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas:
A) 90° no sentido horário
B) 135° no sentido horário
C) 180° no sentido anti-horário
D) 270° no sentido anti-horário
E) 315° no sentido horário
✅ Justificativa da Alternativa Correta (B – 135° no sentido horário):
Somando o ângulo de 45° que a tela já se encontra com 90° adicionais não restaura a orientação original, pois 45° + 90° = 135° é justamente o ângulo de giro necessário para a face do quadrado voltar ao alinhamento inicial. Esse é o menor ângulo abaixo de 360° que a reposiciona.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- (A) 90° no sentido horário não seria suficiente para restaurar a orientação, pois somado aos 45° já existentes resultaria em 135°, mas se girarmos só 90° a partir de 45°, não voltamos ao original.
- (C) 180° no sentido anti-horário excede o necessário.
- (D) 270° no sentido anti-horário é maior ainda.
- (E) 315° no sentido horário é muito grande e não é o menor giro.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
O quadrado, após girar 45°, precisa de mais 135° no sentido horário para retornar à orientação inicial, perfazendo um total de 180° de diferença entre a posição real e a posição de rotação – mas na prática, 135° é o giro efetivo a partir do estado inclinado.
🔍 Resumo Final:
O menor ângulo de rotação para devolver a tela à sua posição original é 135° no sentido horário, correspondendo à Alternativa B.
