Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m², sabe-se que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento.
Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Proporcionalidade direta e inversa, volume de revestimento (área × espessura).
Nível da Questão: Médio
Gabarito: B
Tema/Objetivo Geral: Analisar a relação entre custo, área da parede e distância da fonte sonora, usando proporcionalidades direta e inversa.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“O enunciado informa que a espessura do material de revestimento é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora. O custo é diretamente proporcional ao volume do material (ou seja, área da parede vezes a espessura). Para uma parede de área 9 m², a 3 m da fonte, o custo é 500 reais. Precisamos encontrar a expressão genérica do custo para uma parede de área A, a D metros da fonte sonora.”
🔹 Explicação Detalhada (O que está sendo pedido):
Encontrar, entre as opções dadas, a forma algébrica que relaciona A (área), D (distância) e o custo final de revestimento, tendo em vista as proporções citadas.
✔ Identificação de Palavras-chave:
- “inversamente proporcional ao quadrado da distância”
- “custo diretamente proporcional ao volume”
- “parede de área 9 m², distância 3 m, custo 500”
📌 Definição do Objetivo:
Montar uma expressão que forneça o custo C em função de A e D.
➡️ “Agora que definimos o objetivo, vamos abordar os conceitos matemáticos necessários.”
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Proporcionalidade Inversa ao Quadrado: Se algo (espessura E) é inversamente proporcional a D², então E = k × (1 / (D × D)) para alguma constante k.
- Proporcionalidade Direta ao Volume: Se o custo C é diretamente proporcional ao volume do revestimento, então C = constante × (Área × Espessura).
➡️ “Com esses conceitos, vamos interpretar o texto e as informações numéricas.”
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- A espessura E do material: E = k / (D × D).
- O volume do revestimento: V = Área × Espessura.
- O custo C é diretamente proporcional a esse volume: C = constante × (Área × Espessura).
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “Para D = 3 e A = 9, C = 500.”
- “Queremos a expressão final C(A, D).”
✔ Tradução para Termos Matemáticos:
- Substituiremos E na fórmula do custo, depois usaremos os dados para achar a constante global.
➡️ “Vamos agora desenvolver o raciocínio e efetuar os cálculos necessários.”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Espessura E: E = k / (D × D).
- Volume: V = A × E = A × [k / (D × D)].
- Custo: C = c × V (para alguma constante c).
- Então C = c × A × [k / (D × D)].
- Podemos juntar c e k em uma única constante K, ou resolver passo a passo.
- Uso dos Dados Numéricos:
- Para A = 9, D = 3, C = 500.
- Substituindo: 500 = c × 9 × [k / (3 × 3)].
- 500 = c × 9 × [k / 9].
- 500 = c × k.
- Logo, c × k = 500.
- Expressão Geral:
- C = c × k × [A / (D × D)].
- c × k = 500, então C = 500 × [A / (D × D)].
➡️ “Temos a forma final do custo em função de A e D, vamos comparar com as alternativas.”
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📝 Reescrita das Alternativas:
A) (500 × 81) / (A × D²)
B) (500 × A) / (D²)
C) 500 × (D²) / A
D) 500 × A × (D²) / 81
E) 500 × 3 × (D²) / A
✅ Justificativa da Alternativa Correta:
Da dedução, a expressão é C = (500 × A) / (D²). Isso corresponde à Alternativa B.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A: Traz um 81 no numerador e divide por A × D², não confere com nossa dedução.
- C: Inverte a relação, multiplicando D² no numerador e dividindo por A.
- D: Traz um fator 81 no denominador, não corresponde.
- E: Multiplica por 3 e D², também não confere.
➡️ “Agora concluímos com o resumo e a justificativa final.”
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- A espessura E é inversa a D².
- O custo é proporcional a área A vezes a espessura E.
- Usando o caso A = 9, D = 3 e C = 500, obtemos a expressão final C = (500 × A) / (D × D).
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A resposta é B.
🔍 Resumo Final:
A expressão correta que relaciona custo, área e distância é (500 × A) / (D²), confirmando a alternativa B.
