Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado.
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá
A) diminuir em 2 unidades.
B) diminuir em 4 unidades.
C) aumentar em 2 unidades.
D) aumentar em 4 unidades.
E) aumentar em 8 unidades.
Resolução em texto
Informações Iniciais
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Funções do 1º grau (coeficiente angular), Funções do 2º grau (trajetória parabólica), Leitura de gráfico.
- Nível da Questão: Médio.
- Gabarito: C (aumentar em 2 unidades).
- Tema/Objetivo Geral (Opcional): Analisar coeficientes angulares em funções lineares, identificando alterações necessárias para que a trajetória reta intercepte a altura máxima de uma trajetória parabólica.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“Temos dois projéteis, A e B, com alturas em função do tempo. O projétil A tem trajetória parabólica, e B tem trajetória linear. Pelas simulações, B não intercepta A no ponto de altura máxima de A. É preciso ajustar o coeficiente angular da reta de B para que a interceptação ocorra no pico de A.”
🔹 Explicação Detalhada (O que está sendo pedido):
Precisamos determinar de quanto deve mudar (aumentar ou diminuir) o coeficiente angular da reta de B para que ele intercepte A no instante em que A atinge sua altura máxima.
✔ Identificação de Palavras-chave:
- “trajetória parabólica”
- “trajetória linear”
- “coeficiente angular”
- “altura máxima”
📌 Definição do Objetivo:
Encontrar a diferença necessária no coeficiente angular da reta do projétil B para que ele passe no ponto de altura máxima de A (no gráfico, em t = 4 s e altura = 16 m).
➡️ “Agora que definimos o objetivo, vamos explicar os conceitos de função linear e coeficiente angular.”
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Função Linear: Uma reta pode ser descrita por y = m × x + b, onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o termo constante (interseção no eixo vertical).
- Cálculo de Coeficiente Angular (m):
- m = (variação de y) / (variação de x).
- Interpretação de Gráfico: Se uma reta passa por (0,0) e (x₁, y₁), seu coeficiente angular é y₁ / x₁ (pois b = 0 nesse caso).
➡️ “Com esses conceitos, vamos interpretar os dados do enunciado e do gráfico.”
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- O gráfico mostra duas trajetórias:
- A (parabólica) chega ao ponto máximo em t = 4 s, altura = 16 m.
- B (reta) inicialmente tem um ponto no gráfico em t = 0 s, altura = 0 m, e outro em t = 6 s, altura = 12 m. Logo, seu coeficiente angular inicial é 2.
- Precisamos que B passe por (4, 16) para interceptar A em sua altura máxima.
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “Coeficiente angular da reta do projétil B.”
- “Trajetória de B deve interceptar A no ponto (4, 16).”
✔ Tradução para Termos Matemáticos:
- B tem dois pontos iniciais: (0, 0) e (6, 12).
- Slope inicial de B: (12 – 0) / (6 – 0) = 2.
- Precisamos que B passe em (4, 16), mantendo (0, 0) como ponto inicial.
➡️ “Agora vamos efetuar os cálculos necessários.”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Coeficiente Angular Inicial:
- Observando o gráfico, B passa por (0, 0) e (6, 12).
- Então m inicial = (12 – 0) / (6 – 0) = 2.
- Altura Máxima de A:
- A atinge altura 16 m em t = 4 s.
- Para B interceptar A nesse ponto, B deve passar em (4, 16).
- Novo Coeficiente Angular:
- A reta B ainda passa em (0, 0), mas agora também em (4, 16).
- Novo m = (16 – 0) / (4 – 0) = 4.
- Diferença Necessária:
- Precisamos aumentar o coeficiente angular de 2 para 4, ou seja, um aumento de 2 unidades.
➡️ “Com o valor do ajuste calculado, vamos analisar as opções fornecidas.”
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📝 Reescrita das Alternativas:
A) Diminuir em 2 unidades
B) Diminuir em 4 unidades
C) Aumentar em 2 unidades
D) Aumentar em 4 unidades
E) Aumentar em 8 unidades
✅ Justificativa da Alternativa Correta (C):
O coeficiente angular de B era 2 e precisa ser 4 para interceptar A no ponto máximo. O aumento é de 2 unidades, confirmando a alternativa C.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A, B: Dizem “diminuir”, mas precisamos “aumentar”.
- D, E: Dizem “aumentar” em 4 ou 8, porém calculamos aumento de apenas 2.
➡️ “Agora vamos concluir com o resumo final e a justificativa.”
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Coeficiente angular inicial = 2 (reta de B).
- Para interceptar o projétil A em (4, 16), precisamos que B passe nesse ponto.
- Novo coeficiente angular = 4.
- Portanto, o aumento é de 2 unidades.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A resposta certa é a Alternativa C (aumentar em 2 unidades).
🔍 Resumo Final:
Para que B intercepte A na altura máxima (4, 16), seu coeficiente angular deve ir de 2 para 4. Esse é um aumento de 2 unidades, confirmando a alternativa C.
