Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo 3 cm, e altura medindo 15 cm. Essa empresa planeja comercializar o mesmo produto em embalagens em formato de cubo, com capacidade igual a 80% da capacidade da embalagem cilíndrica utilizada atualmente.
Use 3 como valor aproximado para π.
A medida da aresta da nova embalagem, em centímetro, deve ser
A) 6
B) 18
C) 
D) 
E) 
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Espacial (Volume do Cilindro e do Cubo)
- Matemática (Porcentagem, Radiciação – Raiz Cúbica)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a aresta de um cubo cujo volume é uma porcentagem do volume de um cilindro dado.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige uma cadeia de cálculos: volume do cilindro, cálculo de porcentagem, e a extração de uma raiz cúbica não exata, que precisa ser simplificada na forma de radical para corresponder a uma das alternativas.
- Gabarito: E
- A alternativa está correta. O volume do cilindro é V = πr²h = 3 × 3² × 15 = 405 cm³. O volume do cubo é 80% disso, ou seja, 0,80 × 405 = 324 cm³. A aresta do cubo é a raiz cúbica de 324. Fatorando 324 (2² × 3⁴), a raiz cúbica pode ser simplificada para 3 ³√12.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Vamos criar uma embalagem em formato de cubo. O volume dessa caixa cúbica deve ser 80% do volume da embalagem cilíndrica antiga. Qual será a medida da aresta (do lado) dessa nova caixa cúbica?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem um copo cilíndrico cheio de suco. Você quer transferir 80% desse suco para uma caixa d’água em formato de cubo. A questão é: qual o tamanho do lado dessa caixa d’água cúbica para que o suco caiba exatamente?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Calcular o Volume do “Copo”: Vamos calcular o volume da embalagem cilíndrica.
- Calcular o Volume do “Suco a ser Transferido”: Vamos calcular 80% do volume do cilindro. Esse será o volume da nossa caixa cúbica.
- Encontrar a Aresta da “Caixa”: Vamos calcular a raiz cúbica do volume do cubo para encontrar a medida de sua aresta.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, precisamos das Fórmulas de Volume da geometria espacial.
DOSSIÊ DAS FÓRMULAS
- FERRAMENTA 1: Volume do Cilindro (V_cil)
- Fórmula: V_cil = Área da Base × Altura = π × r² × h
- FERRAMENTA 2: Volume do Cubo (V_cubo)
- Fórmula: V_cubo = a³, onde a é a medida da aresta.
- Operação Inversa: a = ³√V_cubo
- DADOS DO CASO:
- π ≈ 3
- Raio do cilindro (r) = 3 cm
- Altura do cilindro (h) = 15 cm
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos executar nosso plano de ataque.
1. Calculando o Volume do Cilindro (V_cil):
- V_cil = π × r² × h
- V_cil = 3 × (3)² × 15
- V_cil = 3 × 9 × 15
- V_cil = 27 × 15 = 405 cm³
2. Calculando o Volume do Cubo (V_cubo):
- O volume do cubo é 80% do volume do cilindro.
- V_cubo = 80% de 405
- V_cubo = 0,80 × 405 = 324 cm³
3. Encontrando a Aresta do Cubo (a):
- a = ³√324
- Para simplificar essa raiz, precisamos fatorar o 324:
- 324 ÷ 2 = 162
- 162 ÷ 2 = 81
- 81 ÷ 3 = 27
- 27 ÷ 3 = 9
- 9 ÷ 3 = 3
- 3 ÷ 3 = 1
- Fatoração: 324 = 2² × 3⁴
- Agora, substituímos na raiz:
a = ³√(2² × 3⁴) - Podemos reescrever 3⁴ como 3³ × 3¹:
a = ³√(2² × 3³ × 3¹) - O termo 3³ pode “sair” da raiz cúbica, virando 3:
a = 3 × ³√(2² × 3¹) - Calculando o que ficou dentro da raiz:
a = 3 × ³√(4 × 3)
a = 3 × ³√12
Conclusão da Investigação: A medida da aresta da nova embalagem deve ser 3 ³√12 cm.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A principal armadilha está na etapa final: a simplificação da raiz cúbica. Um candidato pode chegar ao ³√324 e não saber como proceder, ou pode errar a fatoração. Outro erro comum seria, na pressa, dividir por 3 em vez de tirar a raiz cúbica.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação calculou o volume do cilindro (405), o volume do cubo (324) e simplificou a raiz cúbica de 324.
- Expectativa: A resposta correta deve ser a forma simplificada de ³√324.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) 6
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter calculado 6³ = 216, que é um valor diferente de 324, mas talvez tenha se confundido. Ou, na fatoração de 324, 2² × 3⁴, ele somou os expoentes 2+4=6.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo / Conceitual. 6³ ≠ 324.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 18
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro grave de cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 6√6
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Raízes. Esta seria a simplificação da raiz quadrada de 216, não a raiz cúbica de 324.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 6 ³√6
- A “Narrativa do Erro”: Um erro na simplificação da raiz cúbica de 324.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro na Manipulação de Radicais.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 3 ³√12
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde exatamente ao resultado que obtivemos após a correta simplificação da raiz cúbica de 324.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa E é a correta. Este caso é uma demonstração completa de geometria espacial, exigindo não apenas o conhecimento das fórmulas de volume, mas também a habilidade de manipular radicais para encontrar a resposta na forma exata.
Resumo-flash (A Imagem Mental): O suco do cilindro encheu o cubo; para achar o lado do cubo, basta tirar a raiz cúbica do volume do suco.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de otimizar o formato de uma embalagem mantendo um volume específico é um problema central na Engenharia de Embalagens e na Logística. Um cubo não é, na verdade, a forma mais eficiente. Para um dado volume, a forma geométrica que possui a menor área de superfície é a esfera. Isso significa que, para fazer uma embalagem esférica com o mesmo volume, gastaríamos menos material (e ela perderia calor mais devagar). É por isso que, na natureza, muitos organismos (como ovos, células, gotas de água) tendem a formas esféricas: é a maneira mais econômica de conter um volume. No entanto, para fins de empilhamento e transporte, a esfera é terrível. O desafio do designer de embalagens é encontrar um equilíbrio entre a eficiência do material (favorecendo a esfera) e a eficiência logística (favorecendo o cubo ou o paralelepípedo).
