Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura T, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo t, em minuto, pode ser modelada pela função  representada no gráfico a seguir.

Os valores das constantes a e b são

A)

B)

C)

D)

E)

Resolução em texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

• Matemática (funções exponenciais e modelagem de fenômenos).

Nível da Questão: Médio.

Gabarito: Letra C.

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1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Comando da Questão:
Determinar os valores das constantes a e b na equação exponencial, que modela a temperatura em função do tempo.

Palavras-chave:

• “Temperatura inicial”
• “Função exponencial”
• “Constantes a e b”

Objetivo:
Encontrar a, o limite inferior da temperatura (T) à medida que t→∞, e b, o fator de decaimento exponencial.

Dica Geral:
⚠️ Observe o comportamento da função! Identifique os valores iniciais, limites, e use pontos específicos do gráfico para resolver a equação.

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2º Passo: Tradução e Interpretação do Gráfico

A função é dada por , e o gráfico apresenta os seguintes dados:

1. Temperatura inicial (T(0)):
   Para t=0, o gráfico indica T(0)=100.
   Substituindo na função:
   
   Como
   
2. Temperatura após 10 minutos (T(10)):
   Para t=10, o gráfico indica T(10)=40.
   
   Substituindo na função:
   
   Isolando
   

Conclusão Parcial:
Os valores são

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3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários

1. Limite inferior (a):
   O valor de a representa a temperatura mínima (ou de equilíbrio) atingida pelo sistema conforme o tempo tende ao infinito (t→∞).
2. Fator de decaimento (b):
   O valor de b controla a taxa de decaimento exponencial. Para determinar b, extraímos a raiz décima de
   

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4º Passo: Análise das Alternativas

1. Alternativa A
   • Incorreta. O valor de b não é dado por log⁡(0,5).
2. Alternativa B (a=100,b=0,5):
   • Incorreta. Embora b=0,5 seja plausível, a≠100.
3. Alternativa C:
   • Correta. a=20 está correto, e é equivalente a
4. Alternativa D (a=20,b=(40/80)1/10):
   • Incorreta. Embora o cálculo ​ pareça válido, o valor correto de corresponde a .
5. Alternativa E (a=20,b=40):
   • Incorreta. b≠40b; o fator de decaimento não pode ser maior que 1.

Dica Geral:
⚠️ Verifique a correspondência entre o gráfico e a equação! Teste pontos no gráfico para confirmar os valores calculados.

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5º Passo: Conclusão e Justificativa Final

Conclusão:
A alternativa correta é pois a representa a temperatura limite e b controla o decaimento exponencial compatível com os dados do gráfico.

Resumo Final:
A partir dos pontos determinamos que a=20 e , resultando em