Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada.
Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
A) 1,44
B) 6,00
C) 7,20
D) 8,64
E) 36,00
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial, Volume de Cilindro e Cone, Porcentagem
📝 Tema/Objetivo Geral:
Aplicar fórmulas de volume de sólidos geométricos e relações percentuais para encontrar a profundidade de um poço.
📊 Nível da Questão:
Médio — por envolver aplicação de fórmulas geométricas com raciocínio percentual encadeado.
🎯 Gabarito:
B) 6,00
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 O enunciado descreve dois sólidos:
- Um poço cilíndrico, de raio desconhecido e profundidade a ser descoberta.
- Um cone, formado pela terra retirada, com raio 3 vezes maior que o raio do poço e altura de 2,4 metros.
Além disso, é informado que o volume do cone é 20% maior que o volume do poço.
🔍 O que está sendo pedido?
A profundidade do poço, que corresponde à altura do cilindro.
🎯 Objetivo cristalino:
Comparar os volumes do cone e do cilindro por meio das fórmulas, usando a relação de 20% a mais no volume do cone, e encontrar a altura do cilindro.
📣 O truque aqui é usar as fórmulas com o raio simbólico r, e perceber que ele desaparece no final da equação.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🧠 Fórmulas envolvidas:
Volume do cilindro (poço):
Volume do cone (terra retirada):
📌 Como o cone tem 20% a mais de volume que o poço, temos:
Passo 3: Tradução e Interpretação dos Dados
- Raio do poço: r
- Raio do cone: 3r
- Altura do cone: 2,4 m
📌 Volume do cone:
📌 Volume do cilindro:
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
📌 Dividindo ambos os lados por π⋅r²:
📌 Resolvendo a equação:
📌 Profundidade do poço: 6 metros
Passo 5: Análise das Alternativas (ou Argumentos) e Resolução
A) 1,44
❌ Muito baixa
B) 6,00
✅ Correta!
C) 7,20
❌ É o volume do cone antes de dividir
D) 8,64
❌ Muito acima
E) 36,00
❌ Exagerado — não faz sentido no contexto
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A relação entre os volumes dos dois sólidos, com a substituição correta das fórmulas, nos levou à equação 7,2 = 1,2·h, cuja solução é h = 6.
✅ Portanto, a profundidade do poço é 6 metros, e a alternativa correta é letra B.
🔍 Resumo Final:
Aplicando a relação de volumes entre o cone e o cilindro, e considerando a expansão de 20% da terra retirada, a profundidade do poço é 6 metros. Gabarito: B.
