Três amigos realizaram uma viagem de carro entre duas cidades, num tempo total de 31 horas. Para não fazer paradas, revezaram na direção, de forma que cada um deles dirigisse um terço da quilometragem total.
O primeiro, mais prudente, dirigiu a uma velocidade média de 75 quilômetros por hora; o segundo, a uma velocidade média de 90 quilômetros por hora; e o último, mais apressado, dirigiu a uma velocidade média de 100 quilômetros por hora.
A distância percorrida por eles, em quilômetros, foi de
A) 900.
B) 2 700.
C) 2 738.
D) 2 790.
E) 8 215
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Básica (Equações de 1º Grau e Operações com Frações).
Física (Cinemática: Relação entre Tempo, Distância e Velocidade).
Tema/Objetivo Geral:
Modelar uma situação real de viagem fracionada em partes iguais, criando uma equação onde a soma dos tempos individuais resulta no tempo total informado.
Nível da Questão
Médio.
A montagem da lógica é simples, mas a resolução exige traquejo com Soma de Frações com Denominadores Diferentes (MMC). Muitos alunos travam na hora de somar x/75 + x/90 + x/100.
Gabarito
Letra B.
A distância de cada trecho é 900 km. Como são três trechos, o total é 2.700 km.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Precisamos descobrir o tamanho total da estrada. Sabemos que ela foi dividida em 3 partes iguais e que a soma das horas gastas em cada parte resultou em 31 horas.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma corrida de revezamento com 3 etapas idênticas de distância.
- O Corredor 1 é lento (75 km/h).
- O Corredor 2 é médio (90 km/h).
- O Corredor 3 é rápido (100 km/h).
Ao final, o cronômetro marcou 31 horas. Qual o tamanho da pista inteira?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Batizar a Distância: Chamaremos o pedaço que cada um dirigiu de “d”. O total será “3d”.
- Calcular o Tempo de Cada Um: Usar a fórmula T = Distância / Velocidade.
- Montar a Equação: Tempo 1 + Tempo 2 + Tempo 3 = 31.
- Resolver a Fração: Achar o MMC para descobrir o valor de “d”.
- O Grand Finale: Multiplicar “d” por 3 para achar a resposta.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a ferramenta fundamental da Cinemática e da Álgebra.
A Fórmula do Tempo:
Se Velocidade = Distância / Tempo, então:
Tempo = Distância / Velocidade
A Estrutura da Equação:
O problema nos dá o tempo total. Portanto, a estrutura lógica é:
(Tempo do Amigo 1) + (Tempo do Amigo 2) + (Tempo do Amigo 3) = 31 horas
Como a distância de cada um é a mesma (vamos chamar de x), teremos:
x/75 + x/90 + x/100 = 31
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos resolver a equação passo a passo.
1. Montando a Equação
Seja x a distância que CADA UM dirigiu.
x/75 + x/90 + x/100 = 31
2. O Pesadelo das Frações (MMC)
Precisamos somar frações com denominadores 75, 90 e 100. Vamos achar o Mínimo Múltiplo Comum.
- Dica: Pense nos múltiplos de 100 (100, 200, 300…).
- 900 é divisível por 100? Sim (dá 9).
- 900 é divisível por 90? Sim (dá 10).
- 900 é divisível por 75? Sim (75×2=150; 150×6=900). Dá 12.
MMC = 900.
3. Reescrevendo a Equação
Colocamos tudo sobre 900:
(12x + 10x + 9x) / 900 = 31
Somando os “x” no numerador:
31x / 900 = 31
4. A Mágica da Simplificação
Olhe que lindo! Temos 31 multiplicando o x de um lado e 31 do outro lado da igualdade. Podemos cortar (simplificar).
x / 900 = 1
x = 900 km
Isso significa que cada amigo dirigiu 900 km.
5. A Resposta Final
A pergunta é a distância total.
Total = 3 vezes x
Total = 3 * 900 = 2.700 km.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é parar a conta quando se encontra x = 900. O aluno fica tão feliz de ter resolvido a equação difícil que esquece que “x” é apenas um terço da viagem. A alternativa A está lá justamente esperando esse aluno emocionado.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A soma das frações resultou em x=900. O total é 3x.
- Expectativa: Procurar o valor 2.700.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 900.
Diagnóstico do Erro: O Prematuro.
O candidato resolveu corretamente a equação, encontrou x = 900, mas esqueceu que x representava apenas a parte de um amigo, não a viagem toda.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
🔄 ENGENHARIA REVERSA (O Teste Real):
Vamos testar a Alternativa A (900 km totais).
Se o total fosse 900, cada um dirigiria 300 km.
Tempos:
300/75 = 4 horas.
300/90 = 3,33 horas.
300/100 = 3 horas.
Total = 10,33 horas.
O enunciado diz 31 horas. Então 900 está errado.
(Note que 31 é quase o triplo de 10,33… isso confirma que a distância deve ser o triplo de 900).
B) 2 700.
Análise de Correspondência:
Encontramos que cada parte vale 900 km. Como são 3 partes, 900 + 900 + 900 = 2.700 km.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 2 738.
Diagnóstico do Erro: Cálculo Aleatório.
Provavelmente erro na soma das frações ou na divisão final.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 2 790.
Diagnóstico do Erro: Erro de Aritmética.
Resultado próximo, sugerindo um erro pequeno na multiplicação ou soma dos coeficientes do MMC.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 8 215.
Diagnóstico do Erro: Delírio Matemático.
Valor desproporcional. Talvez o aluno tenha multiplicado as velocidades (7590100) ou feito alguma operação sem nexo com os tempos.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta é a Alternativa B, pois ao somarmos os tempos gastos em três trechos de 900km (12h + 10h + 9h), chegamos exatamente às 31 horas totais da viagem.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Quem corre mais, gasta menos tempo. Mas na conta final, o tempo de todos se soma para achar a distância de um.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema envolve o conceito de Média Harmônica. Se você quisesse calcular a “velocidade média da viagem inteira”, não poderia apenas somar 75+90+100 e dividir por 3 (Média Aritmética). Como os trechos têm a mesma distância, a velocidade média real é calculada pela média harmônica das velocidades, um conceito muito usado em estatística e circuitos elétricos (resistores em paralelo).
