Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:
|2h + b – 63,5| ≤ 1,5 e 16 ≤ h ≤ 19,
nas quais h é a altura do degrau (denominada espelho) e b é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolheu-se a altura do degrau como sendo h = 16. As unidades de h e b estão em centímetro.
Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada (b) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é
A) 30 ≤ b
B) 30 ≤ b ≤ 31,5
C) 30 ≤ b ≤ 33
D) 31,5 ≤ b ≤ 33
E) b ≤ 33
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução
- Sistemas de Equações
- Módulo
Nível da Questão
Médio: Exige conhecimento de módulo e interpretação de desigualdades.
Gabarito
Alternativa C) 30 ≤ b ≤ 33
Resolução Passo a Passo
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O comando pede o intervalo numérico mais amplo para a profundidade da pisada (b), de modo que a condição matemática fornecida seja satisfeita. A questão define:
- h: altura do degrau (fixa em 16 cm).
- b: profundidade da pisada (a ser encontrada).
- Regra: ∣2h+b−63,5∣≤1,5.
O objetivo é encontrar o intervalo de valores de b que obedeça a essa desigualdade, considerando h=16 e aplicando propriedades de módulo.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
A fórmula ∣2h+b−63,5∣≤1,5 pode ser interpretada em duas partes:
- O termo absoluto ∣x∣ indica a distância de x ao ponto zero, e a desigualdade limita essa distância a no máximo 1,5.
- A substituição de h=16h transforma a equação em ∣32+b−63,5∣≤1,5, simplificando o problema.
Agora, basta determinar os valores de b que atendem à condição resultante.
Passo 3: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
1. Propriedade do módulo:
Isso significa que x está contido no intervalo [−a,a].
2. Resolução de desigualdades:
Uma vez que a desigualdade é linear, resolvemos separadamente as condições para determinar os limites inferior e superior.
Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 30≤b: Incorreta. Inclui apenas o limite inferior, sem especificar o limite superior.
B) 30≤b≤31,5: Incorreta. Esse intervalo é mais restrito que o intervalo completo, deixando de incluir b>31,5b
C)30≤b≤33: Correta. É o intervalo completo obtido pela resolução da desigualdade.
D)31,5≤b≤33: Incorreta. Inclui apenas uma parte do intervalo.
E) b≤33: Incorreta. Inclui valores abaixo do limite inferior, como b<30b.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A solução correta é a Alternativa C, pois representa o intervalo completo 30≤b≤33, que satisfaz a desigualdade dada. As demais alternativas falham por omitir limites ou incluir intervalos incorretos.
