Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:
|2h + b – 63,5| ≤ 1,5 e 16 ≤ h ≤ 19,
nas quais h é a altura do degrau (denominada espelho) e b é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolheu-se a altura do degrau como sendo h = 16. As unidades de h e b estão em centímetro.
Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada (b) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é
A) 30 ≤ b
B) 30 ≤ b ≤ 31,5
C) 30 ≤ b ≤ 33
D) 31,5 ≤ b ≤ 33
E) b ≤ 33
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Inequações Modulares)
- Álgebra Básica
🎯 Tema/Objetivo Geral
Resolução de uma inequação modular para determinar o intervalo de valores de uma variável, em um problema aplicado à arquitetura.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige o conhecimento específico de como resolver uma inequação modular do tipo |x| ≤ a, que se desmembra em -a ≤ x ≤ a. Embora a álgebra envolvida seja simples, a manipulação correta da inequação modular pode ser um ponto de dificuldade para muitos alunos.
✅ Gabarito
Alternativa C.
Resumo: O problema é resolvido substituindo h=16 na inequação modular e resolvendo-a. A inequação |2(16) + b – 63,5| ≤ 1,5 se torna |b – 31,5| ≤ 1,5. Desmembrando o módulo, temos -1,5 ≤ b – 31,5 ≤ 1,5. Somando 31,5 a todos os lados da inequação, encontramos 30 ≤ b ≤ 33.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada (b) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é”
O que está sendo pedido?
A questão nos dá as regras (fórmulas) para construir uma escada, fixa o valor da altura do degrau (h=16) e nos pede para encontrar o intervalo de valores possíveis para a profundidade do degrau (b).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é pegar a primeira fórmula, substituir o valor de h que foi dado e resolver a inequação para encontrar os valores mínimo e máximo que b pode assumir.
🧠 Você lembra como se resolve uma inequação com módulo, do tipo |x| ≤ a? A “mágica” é transformá-la em uma inequação dupla, sem módulo.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Inequação Modular: É uma desigualdade que envolve uma expressão dentro de um módulo.
- Módulo (ou Valor Absoluto): O módulo de um número, representado por |x|, é a sua “distância” até o zero na reta numérica. É sempre um valor não negativo.
- Propriedade da Inequação Modular: A propriedade fundamental para resolver este problema é:
Se |x| ≤ a, então –a ≤ x ≤ a- Tradução: Se a distância de x até o zero é menor ou igual a a, então x deve estar em algum lugar entre -a e +a, inclusive.
- Regras da Escada:
- |2h + b − 63,5| ≤ 1,5: Esta é a “Regra de Blondel” para o conforto da escada.
- 16 ≤ h ≤ 19: Esta é a regra para a altura do degrau, que já foi satisfeita ao se escolher h=16.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você é um arquiteto e precisa projetar uma escada confortável. Existe uma “fórmula mágica” que relaciona a altura (h) e a profundidade (b) de cada degrau: 2h + b deve dar um valor bem perto de 63,5. O “perto” é definido pela regra: a diferença não pode ser maior que 1,5 para mais ou para menos.
O problema já te ajuda: ele define que a altura do degrau será de 16 cm (h=16). Agora, sua missão é usar a “fórmula mágica” para calcular quais são os valores mínimo e máximo que a profundidade (b) pode ter para que a escada continue confortável (ou seja, para que a regra seja satisfeita).
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será um passo a passo algébrico:
- Substituir h = 16 na inequação modular.
- Simplificar a expressão dentro do módulo.
- Aplicar a propriedade |x| ≤ a ⇔ –a ≤ x ≤ a.
- Isolar a variável b no centro da inequação dupla.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Substituir o valor de h na inequação
- A regra principal é: |2h + b − 63,5| ≤ 1,5
- Foi dado que h = 16. Substituindo:
- |2(16) + b − 63,5| ≤ 1,5
Etapa 2: Simplificar a expressão dentro do módulo
- |32 + b − 63,5| ≤ 1,5
- |b + 32 − 63,5| ≤ 1,5
- |b − 31,5| ≤ 1,5
Etapa 3: “Abrir” o módulo usando a propriedade
- Temos uma inequação no formato |x| ≤ a, onde x = b – 31,5 e a = 1,5.
- Aplicando a propriedade –a ≤ x ≤ a, temos:
- –1,5 ≤ b − 31,5 ≤ 1,5
Etapa 4: Isolar a variável b
- Para isolar b, precisamos nos livrar do “-31,5” que está junto com ele. Para isso, vamos somar 31,5 a todas as três partes da inequação:
- (–1,5) + 31,5 ≤ (b − 31,5) + 31,5 ≤ (1,5) + 31,5
- 30 ≤ b ≤ 33
Conclusão: O intervalo numérico para a profundidade da pisada (b) é de 30 cm a 33 cm, inclusive.
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha mais comum em inequações modulares é esquecer como “abrir” o módulo corretamente. Um aluno poderia, por exemplo, considerar apenas um lado da desigualdade (ex: b – 31,5 ≤ 1,5), o que o levaria a uma resposta incompleta (b ≤ 33), correspondente à alternativa E. É essencial lembrar que a inequação com “menor ou igual” gera um intervalo fechado.
Fechamento e Expectativa
O cálculo algébrico nos levou ao intervalo 30 ≤ b ≤ 33. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 30 ≤ b
Incorreta. Esta é apenas a parte inferior do intervalo.
🔴 B) 30 ≤ b ≤ 31,5
Incorreta. Resultado de um erro no cálculo do limite superior.
🟢 C) 30 ≤ b ≤ 33
Correta. Corresponde exatamente ao intervalo encontrado na resolução da inequação modular.
🔴 D) 31,5 ≤ b ≤ 33
Incorreta. Resultado de um erro no cálculo do limite inferior.
🔴 E) b ≤ 33
Incorreta. Esta é apenas a parte superior do intervalo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema solicitava a determinação do intervalo de valores para a profundidade da pisada (b), dada a altura do degrau (h=16) e a regra de conforto |2h + b − 63,5| ≤ 1,5. Substituindo h=16 na inequação, ela se simplifica para |b − 31,5| ≤ 1,5. A resolução de uma inequação modular dessa forma leva a uma inequação dupla: –1,5 ≤ b − 31,5 ≤ 1,5. Ao somar 31,5 a todas as partes da inequação para isolar b, chega-se ao intervalo final 30 ≤ b ≤ 33.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro da inequação modular: |x| ≤ a vira um “sanduíche”: –a ≤ x ≤ a. Depois disso, é só álgebra básica para isolar a variável.
