Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
A) 85
B) 100
C) 175
D) 200
E) 350

Resolução em texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

• Matemática (funções quadráticas e otimização).

Nível da Questão: Médio.

Gabarito: Letra B.

---

1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Comando da Questão:
Determinar a medida do maior lado (L) do galinheiro que maximize a área, considerando a restrição de gasto com as telas.

Palavras-chave:

• “Região plana de formato retangular”
• “Gasto total com telas: R$ 6000,00”
• “Maximizar a área”

Objetivo:
Encontrar o valor de L que maximize a área do galinheiro, respeitando o limite de custo.

Dica Geral:
⚠️ Relacione os custos dos lados do retângulo com o perímetro e a área! Trabalhe com a equação do gasto total para encontrar uma relação entre L e C, e depois use essa relação para maximizar a área.

---

2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto

1. Custos das telas por lado:
   • Para os lados de comprimento L, o custo total é:
     
   • Para os lados de comprimento C, o custo total é:
     .
2. Restrição de custo total:
   O gasto total com as telas deve ser menor ou igual a R$ 6000,00:
   

Conclusão Parcial:
Essa equação relaciona L e C, e a área A=L⋅C será maximizada.

---

3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários

1. Relação entre C e L:
   A partir da equação do custo:
   
   Dividindo por 30
   
   Para maximizar a área, consideraremos a igualdade:
   ​
2. Função da área:
   A área do retângulo é dada por:
   
   Substituindo
   
   Simplificando:
   
   
3. Maximização da área:
   Essa é uma função quadrática do tipo:A área será máxima no vértice da parábola.

---

4º Passo: Análise dos Cálculos

1. Cálculo da coordenada do vértice:
   A coordenada do vértice L da função quadrática é dada por:
   
   
   Substituindo:
   
2. Cálculo de C:
   Substituindo
   
3. Verificação do custo:
   • Custo dos lados L:
   
   
   • Custo dos lados C:
   
   
   • Custo total:
   
   O custo está dentro do limite permitido.

---

5º Passo: Conclusão e Justificativa Final

Conclusão:
A alternativa correta é B) 100, pois o maior lado do galinheiro é 100 m, garantindo a maximização da área dentro do orçamento.

Resumo Final:
Para maximizar a área do galinheiro e respeitar o limite de custo de R$ 6000,00, as dimensões ideais são L=75 m e C=100 m.