Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
A) 85
B) 100
C) 175
D) 200
E) 350
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Área e Perímetro de Retângulo)
- Álgebra (Função Quadrática, Vértice da Parábola)
- Interpretação de Problemas de Otimização
- Tema/Objetivo Geral: Modelar um problema de otimização (encontrar a área máxima de um retângulo) sujeito a uma restrição de custo, utilizando uma função quadrática.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a montagem de duas equações (custo e área) e a combinação delas para criar uma função quadrática. O passo final é aplicar a fórmula do vértice da parábola para encontrar o ponto de máximo, o que requer um conhecimento específico de funções.
- Gabarito: B
- A alternativa está correta. A restrição de custo é 40L + 30C = 6000. A área é A = L × C. Isolando L na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos a função de área A(C) = -0,75C² + 150C. O valor de C que maximiza essa área é o X do vértice da parábola, que é C = 100. Substituindo C=100 na equação de custo, encontramos L = 75. O maior lado do galinheiro é, portanto, 100 metros.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Um fazendeiro quer construir o maior galinheiro retangular possível, mas só tem R$ 6.000,00 para gastar com a tela. As telas para os lados L e C têm preços diferentes. Dadas essas condições, qual será a medida do maior dos dois lados (L ou C) no projeto final?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem um orçamento fixo para comprar o máximo de chocolate possível. A loja vende dois tipos: Chocolate Caro (L) e Chocolate Barato (C). Para maximizar a quantidade de chocolate (a “área”), qual é a estratégia inteligente? Comprar mais do chocolate barato! O problema do galinheiro é o mesmo. Para maximizar a “área” dentro do orçamento, a lógica sugere que o lado com a tela mais barata (o lado C) deve ser o maior. Nossa tarefa é calcular as dimensões exatas que comprovam essa intuição.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Montar a Equação do Orçamento: Vamos escrever a equação que descreve a restrição de custo de R$ 6.000,00.
- Montar a Equação da Área: Vamos escrever a fórmula da área que queremos maximizar.
- Criar a Função de Otimização: Vamos juntar as duas equações para criar uma função quadrática da área.
- Encontrar o Ponto Ótimo: Usaremos a fórmula do vértice da parábola para encontrar as dimensões que maximizam a área.
- Responder à Pergunta: Identificaremos o maior dos dois lados encontrados.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a melhor ferramenta é uma Ficha de Modelagem Matemática, que nos ajudará a traduzir o problema em equações.
FICHA DE MODELAGEM
- VARIÁVEIS:
- L: comprimento de um lado (m)
- C: comprimento do outro lado (m)
- EQUAÇÃO 1: A RESTRIÇÃO (Custo Total)
- Custo dos lados L: 2 × L × R$ 20 = 40L
- Custo dos lados C: 2 × C × R$ 15 = 30C
- Equação do Custo: 40L + 30C = 6000
- EQUAÇÃO 2: O OBJETIVO (Área Máxima)
- Função Objetivo: A = L × C
- A FERRAMENTA DE OTIMIZAÇÃO (Vértice da Parábola):
- Para uma função quadrática do tipo y = ax² + bx + c, o valor de x que maximiza (ou minimiza) y é dado pela coordenada x do vértice:
Xv = -b / (2a)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos executar o plano de ataque.
1. Simplificando e Isolando na Equação do Custo:
40L + 30C = 6000
- Podemos dividir tudo por 10 para facilitar: 4L + 3C = 600
- Agora, vamos isolar L para podermos substituí-lo na equação da área:
4L = 600 – 3C
L = (600 – 3C) / 4 → L = 150 – 0,75C
2. Criando a Função de Área:
- A = L × C
- Substituindo L: A = (150 – 0,75C) × C
- A(C) = -0,75C² + 150C
- Conclusão Parcial: Temos uma função quadrática (uma parábola com a concavidade para baixo, pois ‘a’ é negativo), e queremos encontrar seu ponto máximo.
3. Encontrando o Ponto Ótimo (O Vértice):
- Usando a fórmula Cv = -b / (2a):
- a = -0,75
- b = 150
- Cv = -150 / (2 × -0,75)
- Cv = -150 / -1,5
- C = 100 metros.
- Conclusão Parcial: A área é máxima quando o lado C mede 100 metros.
4. Encontrando a Medida de L:
- Agora, voltamos à equação que relaciona L e C:
L = 150 – 0,75C
L = 150 – 0,75 × 100
L = 150 – 75
L = 75 metros.
5. Respondendo à Pergunta:
- As dimensões do galinheiro de área máxima são 75m e 100m.
- A pergunta é: “Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?”
- Conclusão da Investigação: O maior lado mede 100 metros.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A principal armadilha é a pressa. Um candidato pode calcular C=100 e já procurar a alternativa, mas esquecer de calcular L para ter certeza de que C é de fato o maior lado. Neste caso, é, confirmando nossa intuição inicial. Outra armadilha é errar a fórmula do vértice ou os sinais na hora do cálculo.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação otimizou a área e encontrou as dimensões L=75m e C=100m.
- Expectativa: A resposta correta deve ser 100m.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora interrogar cada um dos suspeitos.
- A) 85
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 100
- Análise de Correspondência: Esta alternativa é o retrato falado da nossa Bússola. Corresponde exatamente ao valor do maior lado (C) que encontramos na otimização.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- C) 175
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter somado os dois lados encontrados (100 + 75 = 175).
- O “Diagnóstico do Erro”: Respondeu à Pergunta Errada. 175 seria a soma dos lados, não a medida do maior lado.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 200
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter calculado C=100 e, por algum motivo, dobrado o valor.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 350
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter calculado o perímetro (2*75 + 2*100 = 350).
- O “Diagnóstico do Erro”: Respondeu à Pergunta Errada. 350 seria o perímetro total do galinheiro, não a medida de seu maior lado.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B é a correta. Este caso é uma bela aplicação da função quadrática, mostrando como a matemática pode ser usada para tomar decisões ótimas, encontrando o melhor resultado possível dentro de um conjunto de restrições.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Para maximizar a área com um orçamento fixo, invista mais no lado mais barato.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de otimização sujeito a restrições é a base da Programação Linear, uma ferramenta matemática poderosa usada em incontáveis áreas. Por exemplo, uma companhia aérea usa a programação linear para definir os preços das passagens de um voo. O objetivo é maximizar a receita (a “área”). As restrições são o número de assentos no avião (o “orçamento”), os custos operacionais e a demanda do mercado. O algoritmo calcula o número ideal de passagens a serem vendidas em cada faixa de preço para atingir a receita máxima. A lógica do fazendeiro para otimizar seu galinheiro é a versão simplificada da lógica que define o preço da sua passagem aérea.
