Questão 146, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem
repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos
números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

a) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.

b) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.

c) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.

d) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.

e) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Resolução em Vídeo

Resolução em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática: Progressão Aritmética (PA), Lógica Matemática e Raciocínio Combinatório.

Nível da Questão: Difícil

Gabarito: E

1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Comando da Questão: “Quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?”

Objetivo: Determinar quantas soluções existem para distribuir os números de 1 a 6, de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais, considerando que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Dica Geral: Podemos utilizar progressão aritmética para definir os vértices do triângulo e depois distribuir os números restantes nos outros círculos para garantir que a soma dos lados seja igual.

2º Passo: Análise das Frases-Chave do Texto

“Os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.”
“Escrever os números de 1 a 6 nos círculos, sem repetição.”

Essas informações indicam que os vértices do triângulo precisam estar em progressão aritmética, enquanto os demais números devem ser distribuídos para garantir que a soma dos lados seja a mesma.

3º Passo: Explicação dos Conceitos Importantes

Progressão Aritmética (PA): Progressão Aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. No caso da questão, os vértices precisam estar em PA com razão igual a 2, ou seja, se o primeiro número for 1 o outro vértice tem que ser o 3 ou o 5, sempre mantendo uma razão entre ambos.
Estratégia de Colocação dos Números: Vamos utilizar os números de 1 a 6 e verificar quais números podem ser colocados nos vértices do triângulo de forma a garantir a progressão aritmética e, em seguida, distribuir os demais números nos outros círculos.

4º Passo: Resolução e Análise das Alternativas

Passo 1: Escolha dos Números nos Vértices em Progressão Aritmética

Os vértices do triângulo precisam estar em progressão aritmética de razão 2. Vamos começar determinando quais conjuntos de três números podem estar nos vértices:

Vértices do Triângulo em PA de Razão 2:
- Podemos escolher os números 1, 3, 5 ou os números 2, 4, 6.

Vamos analisar cada um dos conjuntos:

1. Conjunto {1, 3, 5}:
a. Esses números formam uma progressão aritmética com razão 2.
b. Vamos distribuí-los nos vértices e calcular a soma de cada lado.

Conjunto {2, 4, 6}:
a. Esses números também formam uma progressão aritmética com razão 2.
b. Vamos distribuir nos vértices e calcular a soma de cada lado.

Passo 2: Distribuição dos Números Restantes

Após definir os vértices, restam os outros três números que precisam ser distribuídos nos círculos intermediários, de forma que a soma dos números em cada lado seja igual.

Analisando as Possibilidades:

1. Vértices {1, 3, 5}:
a. Números restantes: 2, 4, 6.
b. Precisamos garantir que cada lado tenha a mesma soma.
c. Para tal vamos utilizar o seguinte raciocínio, vamos somar os lados e distribuir os números da seguinte maneira.
d. O lado com menor soma recebe o maior número, e o lado com maior soma recebe o maior número com esta distribuição se somarmos os três lados poderemos ver que ambos somaram 10, então este é o primeiro resultado possível.

2. Vértices {2, 4, 6}:
a. Números restantes: 1, 3, 5.
b. Precisamos garantir que cada lado tenha a mesma soma.
c. Da mesma forma que o teste anterior iremos distribuir os números nos vértices e após isto distribuiremos os números restantes (1,3,5) respectivamente no lado de maior soma ao de menor soma.

Explicação do Raciocínio

Distribuição dos Números
- Utilizamos a lógica de colocar os números pares nos vértices e, em seguida, somamos os lados.
- Depois, distribuímos os números restantes de forma que o lado com a menor soma recebesse o maior número, garantindo que todos os lados tivessem a mesma soma.

Duas Soluções Possíveis:
- Ao realizar as distribuições, verificamos que há duas somas possíveis para os lados do triângulo: 10 e 11.

Passo 3: Análise das Alternativas

Vamos verificar qual alternativa corresponde às possíveis somas encontradas:

A) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7. Incorreta.
B) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9. Incorreta.
C) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9. Incorreta.
D) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12. Incorreta.
E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11. Correta.

Conclusão: A alternativa correta é a E).

5º Passo: Conclusão e Justificativa

Conclusão: A alternativa correta é a E), pois há duas soluções possíveis para as somas dos números em cada lado do triângulo: 10 e 11.

Resumo Final

Ao distribuir os números de 1 a 6 nos círculos do triângulo, com os vértices em progressão aritmética de razão 2, encontramos duas soluções possíveis para as somas dos lados: 10 e 11. Portanto, a alternativa correta é a E.