Questão 146, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem
repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos
números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

a) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.

b) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.

c) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.

d) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.

e) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Resolução em Vídeo

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Progressão Aritmética (P.A.): Identificação de termos e razão.
Álgebra Elementar: Montagem e resolução de equações de 1º grau.
Raciocínio Lógico-Matemático: Análise combinatória simples e propriedades de somas.

Tema/Objetivo Geral:
Resolver um problema de lógica numérica espacial (“Triângulo Mágico”), utilizando propriedades de sequências (P.A.) para determinar as somas possíveis dos lados do polígono.

Nível da Questão:
Difícil.
Justificativa: A questão exige que o aluno deduza uma propriedade não explícita dos polígonos mágicos: a relação entre a soma total dos números, a soma dos vértices e a soma dos lados.

Gabarito:
Letra E – Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
Precisamos descobrir quais são os valores possíveis para a “Soma Mágica” (S) de cada lado do triângulo.

A Regra do Jogo:

Usar números de 1 a 6.
Os números nos vértices (pontas) devem formar uma Progressão Aritmética (P.A.) de razão 2.
A soma de cada lado deve ser igual.

O Plano de Ataque:

Descobrir quais números podem estar nos vértices (segundo a regra da P.A.).
Usar a “Equação do Triângulo Mágico” para calcular a soma (S) baseada nos vértices encontrados.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos construir as ferramentas lógicas para não depender da sorte:

Ferramenta 1: Os Vértices (P.A. de razão 2)
Temos o conjunto

{1,2,3,4,5,6}


Quais trios formam uma P.A. de razão 2?

Começando com 1: 1→3→5. (Válido).
Começando com 2: 2→4→6. (Válido).
Começando com 3: 3→5→7. (Inválido, 7 não está no jogo).
Conclusão: Só existem dois cenários possíveis para os vértices: {1,3,5}{1,3,5} ou {2,4,6}{2,4,6}.

Analisando as Possibilidades:

1. Vértices {1, 3, 5}:
a. Números restantes: 2, 4, 6.
b. Precisamos garantir que cada lado tenha a mesma soma.
c. Para tal vamos utilizar o seguinte raciocínio, vamos somar os lados e distribuir os números da seguinte maneira.
d. O lado com menor soma recebe o maior número, e o lado com maior soma recebe o maior número com esta distribuição se somarmos os três lados poderemos ver que ambos somaram 10, então este é o primeiro resultado possível.

2. Vértices {2, 4, 6}:
a. Números restantes: 1, 3, 5.
b. Precisamos garantir que cada lado tenha a mesma soma.
c. Da mesma forma que o teste anterior iremos distribuir os números nos vértices e após isto distribuiremos os números restantes (1,3,5) respectivamente no lado de maior soma ao de menor soma.

Explicação do Raciocínio

Distribuição dos Números
- Utilizamos a lógica de colocar os números pares nos vértices e, em seguida, somamos os lados.
- Depois, distribuímos os números restantes de forma que o lado com a menor soma recebesse o maior número, garantindo que todos os lados tivessem a mesma soma.

Duas Soluções Possíveis:
- Ao realizar as distribuições, verificamos que há duas somas possíveis para os lados do triângulo: 10 e 11.

4️⃣ PASSO 3 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.

Diagnóstico do Erro: Cálculo impossível.
Análise: Se a soma fosse 7, a soma dos três lados seria 3×7=21. Isso implicaria que a soma dos vértices seria 0, o que é impossível com números positivos.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.

Diagnóstico do Erro: Incompatibilidade com os vértices.
Análise: Para S=9, teríamos 3×9=27. A única P.A. de razão 2 que soma 6 seria {0,2,4}, mas o número 0 não está disponível (apenas 1 a 6).
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

c) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.

Análise: 🟡 PARCIALMENTE CORRETA (na quantidade, mas errada nos valores). Existem duas soluções, mas os valores 7 e 9 são matematicamente inviáveis conforme demonstrado nas alternativas A e B.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.

Diagnóstico do Erro: Teste de valores incorretos.
Análise: Já vimos que 9 não dá. Vamos testar o 12: 3×12=36 Logo, 36=21+V→V=15. A única P.A. que soma 15 seria {3,5,7}(inválido, pois não tem 7) ou {4,5,6} (inválido, pois a razão não é 2).
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Análise: Perfeito. Corresponde exatamente aos cálculos derivados dos conjuntos de vértices {1,3,5}{1,3,5} e {2,4,6}, que são as únicas P.A.s de razão 2 possíveis com os números disponíveis.
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

5️⃣ PASSO 4 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

O segredo dos polígonos mágicos não está em chutar números, mas em entender que os cantos valem o dobro.

Resumo-flash: ⚡
“Os vértices são VIPs: contam duas vezes na soma total. Vértices baixos = Soma 10; Vértices altos = Soma 11.”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este princípio de contagem dupla é a base para a Teoria dos Grafos e análise de redes. Se você fosse projetar rotas de entrega onde certas cidades (vértices) são hubs conectando várias rotas, o tráfego nesses hubs contaria “múltiplas vezes” no custo total da rede.