Questão 145, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto Q1
representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos Q2, Q3, Q4, Q5 e Q6 também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador Q1 tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições Qn, n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}, cujo ângulo AQnB tenha a mesma medida do ângulo α = Q1B.

Qual é o jogador que receberá a bola?

a) Q2

b) Q3

c) Q4

d) Q5

e) Q6

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Plana (Circunferência e Ângulos).
Propriedades de Ângulos Inscritos.
Conceito de Lugar Geométrico (Arco Capaz).

Tema/Objetivo Geral:
Identificar pontos que compartilham a mesma propriedade angular em relação a um segmento fixo (o gol). O objetivo é aplicar o Teorema do Ângulo Inscrito para encontrar qual jogador tem o mesmo ângulo de visão do gol que o jogador com a bola.

Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: Embora a solução seja visual (seguir a linha), o aluno precisa conhecer a propriedade geométrica que justifica por que seguir a linha funciona. Sem o conceito de “arco capaz” ou “ângulo inscrito”, a questão vira um jogo de adivinhação.

Gabarito:
Letra B – Q3.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
O enunciado pede para encontrarmos o jogador (Qn) cujo ângulo de visão para o gol seja igual ao ângulo de visão do jogador que está com a bola (Q1).
Traduzindo: Quem tem a mesma “abertura de visão” para chutar que o Q1Q1?

A Analogia Central (O Cinema Circular):
Imagine um cinema onde a tela é o gol (pontos Ae B).
Se a sala de cinema for perfeitamente redonda, todas as pessoas sentadas na mesma fileira curva (arco) enxergam a tela com o mesmo ângulo de conforto.
O jogador Q1 está sentado numa fileira específica (a linha pontilhada). A pergunta é: Quem é o vizinho de fileira dele?

Nosso Plano de Ataque:

Identificar o arco de circunferência que passa por AA, BB e Q1Q1.
Seguir esse arco com os olhos.
Verificar qual outro ponto (QQ) está “sentado” nessa mesma linha curva.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos usar o Teorema do Ângulo Inscrito (ou Propriedade do Arco Capaz).

A Regra: Imagine dois pontos fixos numa circunferência (no caso, as traves A e B). Qualquer ponto P que esteja sobre o arco maior dessa circunferência formará um ângulo ∠APB constante.
Visualmente: Se você desenhar um círculo passando por A, B e Q1, qualquer outro ponto que estiver em cima dessa linha circular terá o mesmo ângulo αα.

Isso significa que a linha pontilhada no desenho não é um enfeite; ela é o Lugar Geométrico de todos os pontos que “veem” o gol com o ângulo αα.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos rastrear a imagem como se fosse um mapa do tesouro.

Localize o alvo: Olhe para o jogador Q1 (que tem a bola).
Identifique o rastro: Note que existe uma linha pontilhada específica que passa exatamente debaixo dos pés de Q1. Essa linha curva sai de A, passa por Q1 e vai até B.
Siga a trilha: Vamos percorrer essa linha pontilhada específica para ver quem mais ela “atropela”.
- Passamos perto de Q5… mas Q5 está fora da linha (mais longe).
- Passamos perto de Q2… mas Q2 está dentro da linha (mais perto).
- Continuamos seguindo a curva para a esquerda…
- BINGO! A linha passa exatamente sobre o ponto Q3.

Conclusão Geométrica:
Como Q1e Q3pertencem à mesma circunferência que passa por A e B, eles são vértices de ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (o arco do gol). Logo, seus ângulos são iguais.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a “distância” ou “simetria” visual!
Muitos alunos olham para Q5 ou Q2

e acham que eles estão “parecidos”.

Se o ponto está dentro do círculo (Q2,Q4), o ângulo é maior que αα.
Se o ponto está fora do círculo (Q5,Q6), o ângulo é menor que αα.
A igualdade só ocorre se o ponto estiver em cima da linha. Não confie na intuição de “perto”, confie no traço do desenho.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Devemos procurar o ponto colinear ao arco de Q1.
Expectativa: O ponto Q3.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) Q2

Diagnóstico do Erro: Erro de posição relativa.
Análise: O ponto Q2 está na região interna ao arco de Q1. Isso significa que ele está mais próximo do gol em relação à curva, logo, seu ângulo de visão é maior que αα.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) Q3

Análise: Perfeito. O ponto Q3 está situado exatamente sobre a mesma linha pontilhada (arco de circunferência) que contém Q1. Pela propriedade dos ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (a boca do gol AB), os ângulos são congruentes.
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

c) Q4

Diagnóstico do Erro: Erro de posição relativa.
Análise: Assim como Q2, o ponto Q4 está numa circunferência interna (menor). O ângulo de visão dele é muito mais aberto (maior) do que o de Q1.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) Q5

Diagnóstico do Erro: Erro de posição relativa.
Análise: O ponto Q5 está na região externa ao arco. Ele está mais afastado angularmente. Seu ângulo de visão é menor que α.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) Q6

Diagnóstico do Erro: Erro de posição relativa.
Análise: Q6 está ainda mais longe, numa circunferência externa bem maior. Seu ângulo é muito menor (mais fechado) do que o de Q1.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

No futebol e na geometria, estar na mesma linha curva significa compartilhar a mesma visão do jogo.

Resumo-flash: ⚡
“Mesmo arco, mesmo ângulo: siga a linha pontilhada para achar o parceiro de visão.”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Essa propriedade é vital na Fotografia e no Cinema. A lente da câmera tem um “ângulo de visão”. Se você quer enquadrar um objeto (como o gol) mantendo o mesmo tamanho relativo no quadro, você deve se mover ao longo desse arco circular. Se você sair do arco (para frente ou para trás), o objeto muda de tamanho aparente/ângulo.