Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto Q1
representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos Q2, Q3, Q4, Q5 e Q6 também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador Q1 tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições Qn, n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}, cujo ângulo AQnB tenha a mesma medida do ângulo α = Q1B.
Qual é o jogador que receberá a bola?
a) Q2
b) Q3
c) Q4
d) Q5
e) Q6
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática: Teorema do Ângulo Inscrito
Nível da Questão: Médio
Gabarito: B
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando: “Qual é o jogador que receberá a bola?”
Objetivo: Identificar qual jogador Qn está em uma posição tal que o ângulo formado pelos pontos A, Qn e B seja igual ao ângulo α, formado pelos pontos A, Q1 e B.
Dica Geral: Essa questão é bem simples, mas envolve uma propriedade geralmente esquecida: ângulos inscritos (dentro) em uma mesma circunferência possuem ângulos iguais se sua base (segmento) for a mesma.
2º Passo: Análise das Frases-Chave do Texto
- 1. “O ponto Q1 representa a posição de um jogador que está com a bola.”
O jogador Q1 está em uma posição específica e passa a bola, ele que forma o ângulo de referência que iremos comparar com os outros.
- 2. “Os pontos A e B indicam os dois pés da trave mais próxima deles.”
O segmento AB forma uma base fixa, e os ângulos devem ser analisados em relação a ele, variando apenas o jogador (são os “Q”)
- 3. “O ângulo AQnB tenha a mesma medida do ângulo AQ1B.”
Isso indica que o jogador receptor Qn (de 2 a 6) deve estar sobre o mesmo arco de circunferência formado pelos pontos A, B e Q1.
3º Passo: Explicação dos Conceitos Importantes e Resolução
- 1. Ângulo inscrito em uma circunferência
Quando um ângulo é formado por dois pontos fixos (A e B nessa questão) e um ponto sobre o arco da circunferência (como Q1 e Q3), todos os outros pontos no mesmo arco formarão o mesmo ângulo.
- 2. Arco
É como se fosse o perímetro do círculo, é o pontilhado que o forma.
- 3. Igualdade de ângulos
O problema nos informa que o ângulo AQnB deve ser igual ao ângulo AQ1B. Assim, Qn precisa estar no mesmo arco de circunferência de Q1, com os pontos A e B fixo.
- 4. Análise dos jogadores de 2 a 6
Q2 e Q4 estão em um arco menor, perto do gol. Já Q5 e Q6 estão em arcos maiores, mais afastados do gol e somente o Q3 está exatamente no mesmo arco, portanto terá o mesmo ângulo e é a resposta da questão.
4º Passo: Conclusão e justificativa
A resposta correta é B) Q3.
O jogador que receberá a bola é o Q3, pois ele está no mesmo arco da circunferência em que Q1 está posicionado, garantindo a igualdade dos ângulos AQnB e AQ1B.
Resumo Final
Essa questão exigiu uma propriedade importante sobre ângulos inscritos na mesma circunferência, considerando que os pontos são fixos (A e B). Esse teorema diz que esses ângulos dentro do mesmo arco de circunferência terão ângulos iguais. Dessa forma, bastava analisar qual dos jogadores Qn estavam no mesmo arco do jogador Q1.
