A foto mostra a construção de uma cisterna destinada ao armazenamento de água. Uma cisterna como essa, na
forma de cilindro circular reto com 3 m² de área da base, foi abastecida por um curso-d’água com vazão constante. O seu proprietário registrou a altura do nível da água no interior da cisterna durante o abastecimento em diferentes momentos de um mesmo dia, conforme o quadro.
Disponível em: www.paraibamix.com. Acesso em: 3 dez. 2012.
Qual foi a vazão, em metro cúbico por hora, do curso-d’água que abasteceu a cisterna?
a) 0,3
b) 0,5
c) 0,9
d) 1,8
e) 2,7
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Básica (Razão e Proporção).
- Geometria Espacial (Volume do Prisma/Cilindro).
- Cinemática (Conceito de Vazão).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a vazão de um fluido. A vazão é a velocidade de enchimento, ou seja, quantos metros cúbicos de água entram no reservatório a cada hora.
Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O aluno precisa conectar três conceitos: a leitura da tabela (variação de tempo e altura), o cálculo do volume geométrico (área da base x altura) e a definição física de vazão (volume/tempo).
Gabarito:
Letra C – 0,9.
Resumo: A área da base é 3 m². Em qualquer intervalo da tabela (ex: das 6h às 8h), a altura da água sobe uma quantidade proporcional. Calculando o volume acumulado e dividindo pelo tempo, a vazão é sempre 0,9 m³/h.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
A questão pede a vazão do curso-d’água.
A cisterna é um cilindro reto. Temos a área da base e a altura da água em vários horários.
A vazão é constante, então podemos escolher qualquer intervalo de tempo para calcular.
A Analogia Central (O Tanque de Gasolina):
Imagine que você está enchendo o tanque.
- Às 6:00, o ponteiro marcava “0,5”.
- Às 8:00, o ponteiro marcava “1,1”.
O tanque tem uma base de 3 metros quadrados.
A pergunta é: Quantos “metros cúbicos de gasolina” entraram por hora?
Nosso Plano de Ataque:
- Escolher dois horários na tabela (ex: 6h e 8h).
- Calcular o quanto a água subiu (
ΔhΔh). - Calcular o volume de água que entrou nesse intervalo (
ΔVΔV). - Dividir o volume pelo tempo (
ΔtΔt).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar as fórmulas:
- Volume do Cilindro:
V=Área da Base×Altura - Vazão (
ZZ):Z=ΔV
Dados:
Ab=3 m2
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos pegar o primeiro intervalo da tabela, que é o mais simples (números menores).
- Horário Inicial (
t1t1): 6:00 - Horário Final (
t2t2): 8:00 - Tempo decorrido (
ΔtΔt):8−6=2 horas.
Agora, a altura da água:
- Nível Inicial (
h1h1): 0,5 m - Nível Final (
h2h2): 1,1 m - Variação de Nível (
ΔhΔh):1,1−0,5=0,6 m.
Cálculo do Volume que entrou:
A água subiu 0,6 metros numa base de 3 m².
ΔV=3 m2×0,6 m=1,8 m3.Cálculo da Vazão:
Entraram 1,8 m³ em 2 horas.
Z=1,82=0,9 m3/h.
Dica de Verificação: Você poderia pegar o intervalo total (6h às 15h).
- Tempo: 9 horas (15 – 6).
- Altura:
3,2−0,5=2,7 m - Volume:
3×2,7=8,1 m3 - Vazão:
8,1/9=0,9
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a alternativa D (1,8)!
Muitos alunos calculam o volume que entrou (3×0,6=1,8) e esquecem de dividir pelo tempo (2 horas). Eles acham que o volume é a vazão. Não é! Vazão é volume por hora. Se entrou 1,8 em 2 horas, a vazão é a metade.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Volume acumulado / Tempo decorrido.
- Expectativa: O valor 0,9.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 0,3
- Diagnóstico do Erro: Divisão invertida ou erro de área.
- Análise: Talvez o aluno tenha dividido a variação de altura (0,6) pelo tempo (2) sem multiplicar pela área da base, achando 0,3 m/h (velocidade de subida), mas a pergunta é vazão (volume).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 0,5
- Diagnóstico do Erro: Leitura direta.
- Análise: Pegou o valor do nível inicial (0,5 m) e achou que era a resposta.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 0,9
- Análise: Perfeito. Calculou o volume ganho (
3×0,6=1,8) e dividiu pelo tempo (2h2h), resultando em 0,9 m³/h. - Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
d) 1,8
- Diagnóstico do Erro: Esqueceu de dividir pelo tempo.
- Análise: O aluno calculou o volume total que entrou em 2 horas (1,8 m³), mas não converteu para taxa horária.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 2,7
- Diagnóstico do Erro: Variação total de altura.
- Análise: O aluno calculou a variação total de altura (
3,2−0,5=2,7) e achou que isso era a vazão, ignorando a área da base e o tempo. - Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A vazão é o batimento cardíaco do rio que enche a cisterna. É constante e rítmico.
Resumo-flash: ⚡
“Subiu 0,6 metros em 2 horas. Numa base de 3, isso é 1,8 m³ de água. Em uma hora, é 0,9.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Em engenharia civil e saneamento, o cálculo de vazão é vital para dimensionar bombas d’água e tubulações. Se a vazão de entrada for menor que a vazão de consumo da casa, a caixa d’água seca. É a mesma matemática da caixa d’água da sua casa!
