Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?
A) 0,5
B) 1,0
C) 2,0
D) 3,5
E) 8,0
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Espacial (Volume do Cilindro)
Nível da Questão: Médio (ENEM)
✅ Gabarito: C) 2,0
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular o novo raio de um cilindro para ampliar seu volume, mantendo a altura constante.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando da Questão
📌 “Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Descobrir quanto o raio de um cilindro deve crescer para que, com a mesma altura, seu volume se torne 81 m³, sabendo que o modelo antigo tinha 2 m de diâmetro e 3 m de altura.
1.3 Objetivo Cristalino
📌 Manter a altura de 3 m, calcular o novo raio que produz volume = 81 m³, e então subtrair o raio atual para obter o aumento.
1.4 Identificação de Palavras‐Chave
📌 “cilíndrico”, “3 m de altura”, “2 m de diâmetro” (logo raio = 1 m), “novo volume = 81 m³”, “π ≈ 3,0”.
1.5 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembrou que diâmetro = 2·raio, e que o volume de um cilindro é π·r²·h?
🔹 Passo 2: Conceitos e Conteúdos Necessários
- Volume do cilindro: V = π · r² · h
- Diâmetro e raio: d = 2·r ⇒ r = d/2
- Dados da cisterna antiga: altura = 3 m, diâmetro = 2 m ⇒ raio atual = 1 m.
- Meta de volume: Vₙₒᵥₒ = 81 m³.
❓ Dúvida Comum
“Por que não muda a altura?”
✔ A condição do problema exige altura invariável; só o raio pode variar.
🔹 Passo 3: Interpretação Detalhada do Problema
- O modelo antigo comporta Vₐₙₜᵢgₒ = π·(1 m)²·3 m = 3π m³ ≈ 9 m³ (para π=3).
- A nova cisterna precisa ter Vₙₒᵥₒ = 81 m³, ainda com h = 3 m.
- Precisamos encontrar novo raio rₙ tal que π·(rₙ)²·3 = 81.
- Depois calculamos aumento = rₙ – rₐₜᵤₐₗ.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Escreva a fórmula para o novo volume:
Vₙ = π · rₙ² · h
Substitua Vₙ = 81, π = 3, h = 3:
81 = 3 · rₙ² · 3 - Simplifique passo a passo:
- Primeiro, compute 3 · 3 = 9:
81 = 9 · rₙ² - Agora isole rₙ² dividindo ambos os lados por 9:
rₙ² = 81 ÷ 9
rₙ² = 9
- Primeiro, compute 3 · 3 = 9:
- Resolva para rₙ tirando raiz quadrada:
rₙ = √9 = 3 m - Raio atual: d/2 = 2 m ÷ 2 = 1 m.
- Aumento necessário:
Δr = rₙ – r_atual
Δr = 3 m – 1 m
Δr = 2 m
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 0,5 m
- Se o raio fosse 1,5 m, o volume seria 3·(1,5)²·3 = 3·2,25·3 = 20,25 m³, muito menor que 81. ❌
B) 1,0 m
- Raio 2,0 m ⇒ V = 3·(2)²·3 = 3·4·3 = 36 m³, ainda abaixo de 81. ❌
C) 2,0 m
- Raio 3,0 m ⇒ V = 3·(3)²·3 = 3·9·3 = 81 m³, bate exatamente a meta. ✅
D) 3,5 m
- Raio 4,5 m ⇒ V = 3·(4,5)²·3 = 3·20,25·3 = 182,25 m³, exagerado. ❌
E) 8,0 m
- Raio 9,0 m ⇒ V = 3·81·3 = 729 m³, muito acima do desejado. ❌
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Mantivemos h = 3 m, igualamos π·rₙ²·3 = 81 usando π = 3, encontramos rₙ = 3 m. O aumento relativo ao raio antigo (1 m) é 2 m.
6.2 Alternativa Correta
✅ C) 2,0
6.3 🔍 Resumo Final
Para mudar o volume de um cilindro sem mexer na altura, ajuste o raio via V = π·r²·h. Aqui, dobramos e somamos: de 1 m a 3 m, um acréscimo de 2 m.
