Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?
A) 21
B) 90
C) 750
D) 1 250
E) 3 125
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Análise Combinatória, Lógica de Classificações
Nível da Questão: Alto (ENEM 2015)
✅ Gabarito: C) 750
🎯 Objetivo Geral: Contar todas as possíveis atribuições de nota do jurado B em “Bateria” que garantam o título à Escola II, respeitando critérios de desempate.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Contar todas as maneiras de escolher nota de Bateria (6, 7, 8, 9 ou 10) para cada escola, de modo que, ao final:
- A Escola II tenha a maior pontuação total;
- Em caso de empate, ela vença pelo critério de maior soma em “Enredo e Harmonia”.
1.3 Objetivo Cristalino
📌 Verificar, para cada possível nota que o jurado B dê à Escola II, quais notas ele pode dar à rival direta (Escola IV) sem ultrapassar ou empatar vencido pela Escola II, e depois multiplicar por todas as escolhas livres para as demais escolas.
🔹 Passo 2: Conceitos e Conteúdos Necessários
- Soma parcial atual: as pontuações já conhecidas (Jurados A+B dos demais quesitos).
- Possíveis notas de B em Bateria: {6, 7, 8, 9, 10}.
- Critério de desempate: se houver empate no total, vence quem tem maior soma em “Enredo e Harmonia”—aqui, Escola II (20) supera a IV (19).
❓ Dúvida Comum
“Por que só escolhemos Escola IV como rival?”
✔ Porque, somadas as notas já dadas, apenas as Escolas II (66) e IV (68) podem chegar à liderança após receberem suas notas de Bateria.
🔹 Passo 3: Interpretação Detalhada do Problema
- Totais atuais:
- Escola II: 66 pontos
- Escola IV: 68 pontos
- Demais escolas — não podem alcançar o topo mesmo escolhendo 10.
- Meta: após atribuir nota de Bateria (n₂ para Escola II, n₄ para Escola IV), queremos:
- (66 + n₂) > (68 + n₄) — vitória clara,
- ou (66 + n₂) = (68 + n₄) mas II vence no desempate de “Enredo e Harmonia”.
- Conclusão: as únicas configurações relevantes envolvem notas para II e IV de modo que
66 + n₂ ≥ 68 + n₄ + 1, ou
66 + n₂ = 68 + n₄, sabendo que no empate II já leva.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Escolha de n₂ ∈ {6,7,8,9,10} e análise de quantas n₄ ∈ {6,…,10} satisfazem 66+n2 ≥ 68+n4 66 + n₂ ;≥; 68 + n₄ (se for =, II empata e vence no desempate!)
- Para n₂ = 10:
- 66 + 10 = 76
- Queremos 76 ≥ 68 + n₄ ⇒ n₄ ≤ 8.
- n₄ pode ser 6, 7 ou 8 ⇒ 3 opções.
- Para n₂ = 9:
- 66 + 9 = 75
- 75 ≥ 68 + n₄ ⇒ n₄ ≤ 7.
- n₄ ∈ {6,7} ⇒ 2 opções.
- Para n₂ = 8:
- 66 + 8 = 74
- 74 ≥ 68 + n₄ ⇒ n₄ ≤ 6.
- n₄ ∈ {6} ⇒ 1 opção.
- Para n₂ = 7:
- 66 + 7 = 73
- 73 ≥ 68 + n₄ ⇒ n₄ ≤ 5, mas notas começam em 6 ⇒ 0 opções.
- Para n₂ = 6:
- 66 + 6 = 72
- 72 ≥ 68 + n₄ ⇒ n₄ ≤ 4 ⇒ 0 opções.
- Total de pares (n₂, n₄) válidos = 3 + 2 + 1 = 6.
- Para as outras 3 escolas (I, III, V), o jurado B pode dar qualquer das 5 notas, independente, pois não ameaçam a liderança.
- Cada uma tem 5 opções, logo pelo Princípio Fundamental da Contagem:
5 × 5 × 5 = 125.
- Cada uma tem 5 opções, logo pelo Princípio Fundamental da Contagem:
- Configurações totais = (número de pares válidos) × (combinações das demais)
6 × 125 = 750.
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 21
- Muito abaixo de 750, surgiria se considerássemos apenas n₂×n₄, mas ignoraria as demais escolas. ❌
B) 90
- Também menor. Talvez alguém tenha feito 6×15, mas as outras escolas têm 5³ = 125, não 15. ❌
C) 750
- Correta: 6 possibilidades para (II, IV) e 125 para (I, III, V) → 6×125 = 750. ✅
D) 1 250
- Seria 10×125, equivocadamente usando todas 10 notas para II ou IV. ❌
E) 3 125
- É 5⁵, contando todas escolas perfeitamente livres, mas ignora a disputa entre II e IV. ❌
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Calculamos quantos pares de notas para II e IV asseguram a vitória de II (6 casos). Como as outras 3 escolas podem receber livremente 5 notas cada (5³ = 125), multiplicamos: 6 × 125 = 750.
6.2 Alternativa Correta
✅ C) 750
6.3 🔍 Resumo Final
Em problemas de classificação com critérios de desempate, separe as escolas que podem concorrer, conte as opções viáveis para elas e, em seguida, multiplique pelas escolhas livres dos demais participantes.
