O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é
A) 2.
B) 4.
C) 9.
D) 40.
E) 80.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Matemática Básica (Divisores, Máximo Divisor Comum)
Nível da Questão: Médio (ENEM)
✅ Gabarito: C) 9
🎯 Objetivo Geral: Determinar o menor número de escolas que podem receber ingressos de forma equitativa e sem sobras, usando o conceito de MDC.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas … é ____.”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Encontrar o menor número de escolas possível de modo que:
- Cada escola receba ingressos de apenas uma sessão (vespertina ou noturna).
- Todas as escolas contempladas recebam a mesma quantidade de ingressos.
- Não reste ingresso em nenhuma sessão.
1.3 Objetivo Cristalino
📌 Maximizar o número de ingressos por escola (para minimizar o número de escolas). Para isso, precisamos achar o maior divisor comum a 400 e 320 — ou seja, o MDC(400, 320).
1.4 Palavras-Chave
📌 “400 ingressos vespertinos”, “320 ingressos noturnos”, “mesmo número de ingressos”, “sem sobra”, “única sessão”.
1.5 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembra que, para dar a cada escola o maior lote possível de ingressos igual, sem sobrar, usamos o MDC dos dois totais?
🔹 Passo 2: Conceitos e Conteúdos Necessários
- Máximo Divisor Comum (MDC): o maior inteiro que divide dois números sem deixar resto.
- Por que usar MDC?
- Se cada escola recebe M ingressos, então M deve dividir 400 e 320 perfeitamente.
- Para minimizar o número de escolas, escolhemos M o mais alto possível — isto é, o MDC.
❓ Dúvida Comum
“Por que não usar MMC?”
✔ O MMC aplica-se quando queremos um múltiplo comum (por exemplo para sincronizar ciclos). Aqui precisamos de um divisor comum para repartir, então MDC é o correto.
🔹 Passo 3: Interpretação Detalhada do Problema
- Sessão vespertina: 400 ingressos disponíveis.
- Sessão noturna: 320 ingressos disponíveis.
- Cada escola só pode escolher uma sessão.
- Todas as escolas recebem exatamente M ingressos.
- Devemos usar tudo (sem sobrar ingresso) em cada sessão.
➡ Para cada sessão:
- Número de escolas = (total de ingressos na sessão) ÷ M.
E o total mínimo de escolas será a soma das escolas vespertinas + escolas noturnas.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Fatoração de 400 e 320 para achar o MDC
- 400 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 (quatro doses de 2 e duas de 5)
- 320 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 (cinco doses de 2 e uma de 5)
- MDC(400, 320): pegue os fatores comuns com o menor expoente:
- Fatores comuns: 2 aparece 4 vezes em ambos, 5 aparece 1 vez em ambos.
- MDC = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 16 · 5 = 80
Portanto, cada escola receberá 80 ingressos.
- Número de escolas na sessão vespertina
- Total de ingressos vespertinos = 400
- Ingressos por escola = 80
- 400 ÷ 80 = 5
- Logo, são necessárias 5 escolas para a sessão vespertina.
- Número de escolas na sessão noturna
- Total de ingressos noturnos = 320
- Ingressos por escola = 80
- 320 ÷ 80 = 4
- Logo, são necessárias 4 escolas para a sessão noturna.
- Total mínimo de escolas
- 5 (vespertina) + 4 (noturna) = 9 escolas
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 2
- Se cada escola recebesse 200 ingressos (400÷2)… mas então 200 não divide 320. Logo não satisfaz “sem sobra” para a sessão noturna. ❌
B) 4
- Para 4 escolas, cada teria 400÷4 = 100 em vespertina e 320÷4 = 80 em noturna.
- Isso viola o critério de mesmo número por escola (uma escola não pode receber 100 e outra 80). ❌
C) 9
- Como vimos, com MDC = 80 ingressos/escola temos 5 escolas + 4 escolas = 9. Satisfaz todos os critérios. ✅
D) 40
- Se houvesse 40 escolas, cada teria 400÷40 = 10 e 320÷40 = 8. Aí cada escola receberia diferentes quantidades dependendo da sessão, violando o critério de igualdade. ❌
E) 80
- Se fossem 80 escolas, cada uma receberia 400÷80 = 5 e 320÷80 = 4, valores diferentes, novamente violando a igualdade. ❌
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Para minimizar o número de escolas, encontrámos o MDC(400, 320) = 80 ingressos/escola. Assim, 400÷80 = 5 escolas de tarde e 320÷80 = 4 de noite, totalizando 9.
6.2 Alternativa Correta
✅ C) 9
6.3 🔍 Resumo Final
Use sempre o MDC para repartir quantidades de forma igual sem sobras. Aqui, ele garantiu o menor número de escolas possível!
