Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.
A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.
A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a
A) 12.
B) 14.
C) 16.
D) 18.
E) 20.
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Paralelepípedo, Esfera)
- Matemática (Escala, Razão e Proporção)
- Raciocínio Lógico
🎯 Tema/Objetivo Geral
Determinação da escala de redução de um objeto para que ele caiba em uma caixa com dimensões restritas, e posterior cálculo da altura da caixa com base nessa escala.
📊 Nível da Questão
Médio a Difícil.
Por quê? A questão é complexa e exige a interpretação de múltiplas restrições espaciais para determinar o fator de escala limitante. O aluno precisa analisar as dimensões da base e a altura separadamente, encontrar a maior escala possível que satisfaça todas as condições e, a partir daí, calcular a dimensão final solicitada.
✅ Gabarito
Alternativa B.
Resumo: O problema é resolvido ao determinar o fator de escala que permite a miniatura caber na base da caixa. A base do troféu real é 50×50 cm, e a área útil da base da caixa é 6×8 cm. A dimensão de 50 cm do troféu deve caber nos 6 cm da caixa, o que define a escala máxima como 6/50 = 1/8,33. Como a escala de 1:10 (ou 1/10) é menor e mais prática, usamos essa. Com essa escala, a altura da miniatura é 10 cm. Somando-se os 2 cm de folga na parte superior, a altura total da caixa deve ser de 12 cm. Corrigindo: a escala limitante é 6/50=0,12. Aplicando essa escala à altura de 100 cm, temos 12 cm para a miniatura. Somando a folga de 2 cm, a altura da caixa é 14 cm.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para calcular a altura total da caixa de vidro, considerando que ela deve abrigar a “maior miniatura possível” do troféu, respeitando certas folgas.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Determinar qual é a “maior miniatura possível”, ou seja, qual a escala de redução que devemos usar. Essa escala será limitada pelas dimensões da base da caixa.
- Aplicar essa escala para encontrar a altura da miniatura do troféu.
- Adicionar a folga de 2 cm para encontrar a altura total da caixa.
🧠 O que limita o tamanho da miniatura: a largura da caixa, o comprimento da caixa ou a altura? A resposta é: o que for mais “apertado”!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Escala (E): É a razão entre uma dimensão na miniatura (desenho) e a dimensão correspondente no objeto real.
- E = (Dimensão da Miniatura) / (Dimensão Real)
- Fator Limitante: Em um problema de otimização com múltiplas restrições, o fator limitante é a condição mais restritiva, aquela que “impede” que o objeto seja maior.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Você quer colocar a maior miniatura possível de um troféu dentro de uma caixa de vidro. Você tem as medidas do troféu real e da base da caixa. As regras são:
- A base da miniatura tem que ficar a pelo menos 1 cm de distância de cada parede lateral da caixa.
- O topo da miniatura tem que ficar a exatamente 2 cm de distância da tampa.
Sua missão é descobrir qual deve ser a altura da caixa para que tudo isso funcione.
O segredo é descobrir o quanto você precisa “encolher” o troféu para que a base dele caiba na base da caixa com a folga exigida. Esse fator de “encolhimento” (a escala) é o que vai definir a altura da miniatura e, consequentemente, a altura da caixa.
Estratégia Geral 🗺️
- Dimensões Úteis: Calcular as dimensões máximas que a base da miniatura pode ter dentro da caixa.
- Escala Limitante: Comparar as dimensões da base do troféu real com as dimensões úteis da caixa para encontrar a escala (o fator de redução).
- Altura da Miniatura: Aplicar essa escala à altura real do troféu.
- Altura da Caixa: Somar a folga de 2 cm à altura da miniatura.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Determinar as dimensões máximas da base da miniatura
- Dimensões internas da base da caixa: 10 cm e 8 cm.
- Restrição: a base da miniatura deve ficar “distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm”. Isso significa que temos que descontar 1 cm de cada lado.
- Comprimento máximo da base da miniatura = 10 cm – 1 cm – 1 cm = 8 cm.
- Largura máxima da base da miniatura = 8 cm – 1 cm – 1 cm = 6 cm.
- Portanto, a base da miniatura deve caber em um retângulo de 8 cm x 6 cm.
Etapa 2: Determinar a escala de redução (E)
- A base do troféu real é um quadrado de 50 cm x 50 cm.
- A base da miniatura também será quadrada, com lado L_min.
- Para que o quadrado da miniatura caiba no retângulo útil da caixa (8 cm x 6 cm), seu lado L_min não pode ser maior que a menor dimensão do retângulo, ou seja, L_min ≤ 6 cm.
- A dimensão mais restritiva é a de 6 cm. É ela que vai definir a escala máxima.
- A escala (E) é a razão entre a dimensão da miniatura e a dimensão real:
- E = (Lado da base da miniatura) / (Lado da base real)
- E = 6 cm / 50 cm
- E = 6/50 = 0,12
Etapa 3: Calcular a altura da miniatura (H_min)
- A altura do troféu real é H_real = 100 cm.
- A altura da miniatura será a altura real multiplicada pela escala.
- H_min = H_real × E
- H_min = 100 cm × 0,12
- H_min = 12 cm
Etapa 4: Calcular a altura da caixa de vidro (H_caixa)
- A regra é: “deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro”.
- H_caixa = Altura da miniatura + Folga superior
- H_caixa = 12 cm + 2 cm
- H_caixa = 14 cm
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é não identificar corretamente a dimensão limitante. O aluno poderia tentar usar a dimensão de 8 cm da base da caixa para calcular a escala (8/50 = 0,16), o que levaria a uma miniatura com base de 8 cm de lado, que não caberia na largura útil de 6 cm. A escala é sempre determinada pela maior restrição (o menor espaço disponível).
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a uma altura de 14 cm para a caixa. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 12.
Incorreta. Este é o valor da altura da miniatura, não da caixa. Faltou somar a folga de 2 cm.
🟢 B) 14.
Correta. Corresponde à soma da altura da miniatura (12 cm) com a folga superior de 2 cm.
🔴 C) 16.
Incorreta.
🔴 D) 18.
Incorreta.
🔴 E) 20.
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para determinar a altura da caixa, primeiro foi necessário calcular o tamanho da maior miniatura possível. As dimensões internas úteis da base da caixa são 8 cm por 6 cm, considerando a folga de 1 cm de cada lado. Como a base do troféu real é um quadrado de 50 cm, a dimensão limitante para a miniatura é a menor medida da base da caixa, 6 cm. Isso define a escala de redução como E = 6/50 = 0,12. Aplicando essa escala à altura real do troféu (100 cm), a altura da miniatura será de 12 cm. De acordo com o enunciado, a caixa deve ter uma folga de exatos 2 cm acima da miniatura. Portanto, a altura total da caixa de vidro deve ser a altura da miniatura mais a folga: 12 cm + 2 cm = 14 cm.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de escala com restrições, sempre identifique o fator limitante. É o “gargalo”, a dimensão mais apertada, que vai ditar o tamanho máximo do seu objeto e, consequentemente, a escala a ser usada para todas as outras dimensões.
