Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.
A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.
A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a
A) 12.
B) 14.
C) 16.
D) 18.
E) 20.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução
- Razão e Proporção
- Geometria Espacial
- Interpretação e Análise
Nível da Questão
Médio (demanda atenção aos detalhes e domínio de conceitos básicos de proporcionalidade e dimensões espaciais).
Gabarito
Alternativa B: 14
Resolução Passo a Passo
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O objetivo da questão é determinar a altura da maior miniatura possível de um troféu que caiba dentro de uma caixa de vidro com dimensões específicas. Isso exige:
- Calcular a escala da miniatura em relação ao troféu original.
- Garantir que a miniatura obedeça às restrições descritas no enunciado (distâncias mínimas entre a base, as laterais e o topo).
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
O enunciado detalha que:
- O troféu original tem 100 cm de altura, com uma base quadrada de 50 cm de lado.
- A miniatura deve caber em uma caixa de vidro com base de 8 cm x 10 cm.
- É necessário deixar, no mínimo, 1 cm de folga nas laterais e 2 cm entre o topo da esfera e a tampa da caixa.
Com isso, o lado máximo da base da miniatura é 6 cm (8 cm – 2 cm de folga). A escala da miniatura é proporcional ao lado da base, que deve ser comparado com o lado da base original.
Passo 3: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
1. Escala de um Modelo:
A escala é a razão entre uma dimensão no modelo e a dimensão correspondente no objeto real:
2. Proporcionalidade em Modelos:
Se o comprimento, largura e altura são reduzidos proporcionalmente, a escala pode ser usada para calcular qualquer outra dimensão, incluindo a altura.
Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Escala da Miniatura: A base do troféu original é 50 cm. Na miniatura, o lado da base é no máximo 6 cm (para caber na base da caixa). Assim, a escala é:
Altura da Miniatura: A altura do troféu original é 100 cm. Pela escala, a altura da miniatura será:
Altura da Caixa de Vidro: Considerando que a esfera no topo precisa de 2 cm de distância da tampa da caixa, a altura mínima da caixa será:
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Alternativa A: 12 cm
Incorreta. Essa altura representa apenas a miniatura do troféu, sem considerar a distância de 2 cm entre o topo da esfera e a tampa da caixa.
Alternativa B: 14 cm
Correta. Essa é a altura total necessária para acomodar a miniatura (12 cm) e garantir os 2 cm de folga especificados no enunciado.
Alternativa C: 16 cm
Incorreta. Essa altura excede o necessário para acomodar a miniatura com a folga exigida.
Alternativa D: 18 cm
Incorreta. Assim como a alternativa anterior, essa altura é maior do que o necessário.
Alternativa E: 20 cm
Incorreta. Essa altura é ainda mais exagerada, não sendo compatível com os cálculos da questão.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A altura correta da caixa de vidro é 14 cm, conforme determinado pela proporcionalidade entre o troféu original e a miniatura, além de considerar as restrições impostas no enunciado. Essa altura garante que o troféu caiba dentro da caixa com as folgas adequadas.
