Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente transmite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta.
As diferentes marchas ficam definidas pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação na figura.
O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida em que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catraca, a cada volta completa dos pedais.
O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é
A) 2,3.
B) 3,5.
C) 4,7.
D) 5,3.
E) 10,5.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Regra de Três, Proporcionalidade Inversa, Cálculo de Razões.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: ✅ Alternativa C.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
🔹 Análise do Comando:
A questão envolve um sistema de marchas de bicicleta com duas catracas. Sabemos que a distância percorrida pela bicicleta depende inversamente do diâmetro da catraca usada. O ciclista já tem uma catraca de 7 cm de diâmetro e deseja encontrar o diâmetro de uma segunda catraca que permita à bicicleta avançar 50% a mais.
🔹 Palavras-chave:
- “bicicleta”
- “catraca”
- “diâmetro”
- “grandezas inversamente proporcionais”
🔹 Objetivo:
Determinar a medida do diâmetro da segunda catraca que aumente em 50% a distância percorrida.
⚠ Dica Geral: Quando uma grandeza aumenta e a outra diminui na mesma proporção, estamos lidando com grandezas inversamente proporcionais.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹 Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na mesma proporção. A relação matemática é dada por:
A₁ × B₁ = A₂ × B₂
Ou seja, o produto entre as duas grandezas permanece constante.
🔹 Relação entre os diâmetros das catracas e a distância percorrida
Na bicicleta, quanto menor o diâmetro da catraca traseira, maior será a distância percorrida por volta completa dos pedais, pois a roda traseira gira mais vezes.
✔ Conclusão Parcial: Devemos utilizar regra de três inversa para calcular o diâmetro da segunda catraca.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔹 Informações extraídas do enunciado:
- Primeira catraca tem 7 cm de diâmetro.
- A segunda catraca deve permitir que a bicicleta avance 50% a mais.
- Como são grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter a relação.
✔ Conclusão Parcial: Agora, vamos resolver matematicamente.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Vamos usar a regra de três inversa:
- Se a primeira catraca de 7 cm permite um avanço de 100% da distância, então a segunda catraca precisa permitir um avanço de 150%.
- Como as grandezas são inversamente proporcionais, invertemos os valores e montamos a regra de três:
7 cm → 100%
X cm → 150%
Agora, multiplicamos cruzado:
7 × 150 = X × 100
1050 = 100X
X = 1050 / 100
X = 4,7 cm
✔ Conclusão Parcial: O diâmetro mais próximo da segunda catraca é 4,7 cm.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Agora, verificamos as alternativas:
✅ Alternativa C: 4,7 cm. Correta!
❌ Alternativa A: 2,3 cm. Muito pequeno, resultaria em um avanço muito superior a 50%.
❌ Alternativa B: 3,5 cm. Também menor do que o necessário para garantir o aumento de 50%.
❌ Alternativa D: 5,3 cm. Maior do que o correto, resultando em um avanço menor do que o desejado.
❌ Alternativa E: 10,5 cm. Maior do que a primeira catraca, o que não faria sentido.
✅ Alternativa correta: C.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✔ Conclusão:
A distância percorrida pela bicicleta é inversamente proporcional ao diâmetro da catraca traseira. Como a nova catraca precisa aumentar em 50% a distância percorrida, aplicamos regra de três inversa e determinamos que seu diâmetro deve ser 4,7 cm.
🔍 Resumo Final:
A relação entre os diâmetros das catracas e a distância percorrida segue uma proporção inversa. Aplicando a regra de três inversa, encontramos que o diâmetro ideal da segunda catraca é 4,7 cm, confirmando a alternativa C. ✅
