Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente transmite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta.
As diferentes marchas ficam definidas pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação na figura.
O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida em que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catraca, a cada volta completa dos pedais.
O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é
A) 2,3.
B) 3,5.
C) 4,7.
D) 5,3.
E) 10,5.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Regra de Três, Proporcionalidade Inversa, Cálculo de Razões.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: ✅ Alternativa C.
🔷 Passo 1 – O que a questão quer? Roteiro de ação
O objetivo da questão é que a gente descubra qual deve ser o diâmetro da segunda catraca (o disco dentado da roda de trás) para que a bicicleta ande 50% a mais do que andaria com a primeira catraca, a cada pedalada.
Simplificando ainda mais: temos uma catraca pequena (7 cm). Queremos colocar uma segunda catraca que faça a bicicleta andar mais rápido (50% a mais). Qual deve ser o tamanho dessa nova catraca? Maior ou menor que a primeira?
Para resolver essa questão como um verdadeiro engenheiro de bicicletas, siga este roteiro:
Roteiro de ação – passo a passo:
- Entender a Mecânica da Bicicleta: Como a pedalada vira movimento da roda? (Pedal gira a coroa -> corrente gira a catraca -> catraca gira a roda).
- Analisar a Relação de Transmissão: O que acontece quando usamos uma catraca menor? E uma maior? Qual delas faz a roda girar mais vezes para cada pedalada?
- Estabelecer a Relação Matemática: Vamos montar uma proporção que relacione o avanço da bicicleta com o diâmetro da catraca.
- Aplicar a Condição do Problema: Vamos usar a relação que encontramos para calcular o diâmetro da segunda catraca, que deve proporcionar um avanço 50% maior.
- Encontrar a Resposta: Comparar nosso resultado com as alternativas.
🔷 Passo 2 – Lista de conceitos
Vamos traduzir o “fisiquês” e o “matematiquês” da bicicleta.
Coroa e Catraca
- Coroa: É o disco dentado grande, onde ficam os pedais.
- Catraca (ou Pinhão): É o disco dentado pequeno, que fica na roda de trás.
- A Relação: A coroa e a catraca são conectadas pela corrente.
Relação de Transmissão
- O que significa: É a relação entre o número de voltas da coroa (que você dá com o pedal) e o número de voltas da catraca (que gira a roda).
- A Regra de Ouro (Inversamente Proporcional): Para uma mesma pedalada (uma volta da coroa), quanto MENOR for a catraca, MAIS vezes a roda vai girar. Isso resulta em maior velocidade e maior avanço, mas exige mais força.
- Marcha Leve: Catraca grande (roda gira pouco por pedalada).
- Marcha Pesada: Catraca pequena (roda gira muito por pedalada).
Avanço da Bicicleta
- O que significa: É a distância que a bicicleta percorre. Essa distância é diretamente proporcional ao número de voltas que a roda traseira dá.
- A Conexão: Mais voltas da roda = Maior avanço.
🔷 Passo 3 – Interpretação guiada (mastigando o raciocínio)
Vamos montar a lógica do problema.
3.1. A Relação Fundamental
O avanço da bicicleta (A) é diretamente proporcional ao número de voltas que a roda traseira dá.
O número de voltas da roda traseira é diretamente proporcional ao número de voltas da catraca.
O número de voltas da catraca é inversamente proporcional ao seu diâmetro (d).
Juntando tudo, temos a relação mais importante:
O avanço da bicicleta (A) é INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao diâmetro da catraca (d).
Matematicamente, podemos escrever: A = k / d, onde k é uma constante que depende do tamanho da coroa e da roda.
3.2. Aplicando a Lógica ao Problema
Sejam:
- A₁ o avanço com a primeira catraca (d₁ = 7 cm).
- A₂ o avanço com a segunda catraca (d₂ = ?).
A questão nos diz que o segundo avanço deve ser 50% maior que o primeiro.
“50% a mais” significa que A₂ = A₁ + 0,5 * A₁ = 1,5 * A₁.
3.3. Montando a Equação
Usando nossa relação A = k / d, temos:
- A₁ = k / d₁
- A₂ = k / d₂
Substituindo A₂ = 1,5 * A₁:
k / d₂ = 1,5 * (k / d₁)
Podemos cortar o k dos dois lados:
1 / d₂ = 1,5 / d₁
Agora, podemos inverter os dois lados da equação para facilitar:
d₂ = d₁ / 1,5
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A principal armadilha é pensar de forma diretamente proporcional. Um aluno desatento poderia pensar: “Se eu quero andar 50% a mais, preciso de uma catraca 50% maior”. Ele calcularia 7 * 1,5 = 10,5 cm (alternativa E). Isso está errado! Como vimos, a relação é inversa. Para andar mais, você precisa de uma catraca menor.
3.4. Calculando o Diâmetro da Segunda Catraca (d₂)
Agora, é só substituir os valores:
d₁ = 7 cm
1,5 pode ser escrito como a fração 3/2.
d₂ = 7 / 1,5
d₂ = 7 / (3/2)
d₂ = 7 * (2/3)
d₂ = 14 / 3
d₂ ≈ 4,666… cm
O valor mais próximo, com uma casa decimal, é 4,7 cm.
- Síntese do raciocínio: Entendemos que o avanço da bicicleta é inversamente proporcional ao diâmetro da catraca. Para aumentar o avanço em 50% (multiplicar por 1,5), precisamos dividir o diâmetro da catraca por 1,5. Calculamos o novo diâmetro e encontramos o valor aproximado.
- Expectativa: O resultado deve ser menor que 7 cm e próximo de 4,67 cm.
🔷 Passo 4 – Alternativas comentadas (diagnóstico e estratégia)
Vamos analisar cada alternativa.
A) 2,3.
- Análise: Valor incorreto, muito menor que o calculado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 3,5.
- Análise: Este seria o resultado se o avanço precisasse dobrar (ser 100% a mais), pois 7 / 2 = 3,5. Não é o caso.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 4,7.
- Análise: Corresponde ao nosso cálculo de 14 / 3 ≈ 4,67, arredondado para uma casa decimal.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 5,3.
- Análise: Valor incorreto.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 10,5.
- Análise: Esta é a armadilha do raciocínio direto. É o resultado de 7 * 1,5.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
🔷 Passo 5 – Conclusão curta + resumo-flash
O diâmetro da segunda catraca deve ser de aproximadamente 4,7 cm para que a bicicleta avance 50% a mais a cada pedalada.
Resumo-flash: Na bicicleta, a relação é inversa: para andar mais rápido (aumentar o avanço), você precisa de uma catraca menor. Aumentar o avanço por 1,5 significa dividir o diâmetro da catraca por 1,5!
