Admita que um grupo musical deseja produzir seu próprio CD. Para tanto, adquire um pequeno equipamento para gravar CDs ao valor de R$ 252,00, e vários CDs novos, sendo esses os únicos gastos realizados na produção dos CDs. Sabe-se que o custo total na compra do equipamento e dos CDs totalizou o valor de R$ 1 008,00, e que o custo unitário de cada CD novo, em real, varia de acordo com o número n de CDs adquiridos, segundo o quadro.
Nessas condições, o número de CDs adquiridos pelo grupo musical é igual a
A) 1 680.
B) 1 890.
C) 2 160.
D) 2 520.
E) 2 880.
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Financeira (Cálculo de Custos).
Álgebra (Equações e Inequações de 1º Grau).
Lógica Matemática (Validação de Hipóteses).
Tema/Objetivo Geral:
Determinar a quantidade de itens comprados analisando uma função definida por partes (preços que mudam conforme a quantidade), validando qual intervalo satisfaz as condições do problema.
Nível da Questão
Médio.
Embora a matemática seja básica (subtração e divisão), o aluno precisa ter a disciplina de validar o resultado. A questão coloca “iscas” (resultados de cálculos possíveis, mas logicamente inválidos) nas alternativas erradas.
Gabarito
Letra B.
Ao descontar o valor do equipamento, sobram R$ 756,00. Testando as faixas de preço, a única que gera uma quantidade coerente com o intervalo proposto é a segunda faixa (custo de R$ 0,40), resultando em 1.890 CDs.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer que você descubra quantos CDs foram comprados. Para isso, ela te dá o gasto total e uma tabela de preços que funciona como uma “escada”: quanto mais você compra, mais barato fica o preço unitário.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Pense nisso como um “Clube de Atacado”.
- Se você compra pouco, paga o preço cheio.
- Se compra médio, ganha um desconto.
- Se compra muito, ganha um desconto maior.
Você sabe quanto gastou no total. O desafio é descobrir em qual “categoria de desconto” você entrou para gastar exatamente esse valor.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Limpar a Mesa: Separar o dinheiro dos CDs do dinheiro do equipamento.
- Teste de Hipóteses (O “Se… Então”): Vamos testar cada faixa de preço. Vamos fingir que o preço foi X, calcular a quantidade e ver se essa quantidade faz sentido para aquele preço.
- A Validação: O número encontrado bate com a regra da tabela? Se sim, é a resposta.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar o conceito de Validação de Intervalo.
A Lógica do Detetive:
Não sabemos qual foi o preço unitário (0,45, 0,40 ou 0,35). Então, teremos que testar um por um.
A Fórmula Mestra:
Quantidade de CDs = (Dinheiro Disponível para CDs) ÷ (Preço Unitário da Faixa)
O Critério de Verdade:
Para uma resposta ser aceita, ela deve obedecer à Regra da Faixa.
- Exemplo: Se usarmos o preço da faixa “menos de 1000”, o resultado da conta tem que ser menor que 1000. Se der 1500, encontramos uma contradição e a hipótese é falsa.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Execução Sequencial:
1. O Orçamento Real (Limpando a Mesa)
O gasto total foi R$ 1.008,00. O equipamento custou R$ 252,00.
O dinheiro que sobrou para os CDs foi:
1.008 – 252 = 756 reais.
Agora, vamos pegar esses R$ 756,00 e tentar encaixar nas faixas da tabela.
2. Testando a Hipótese 1 (Faixa dos “Pequenos”: n < 1000)
Preço unitário nesta faixa: R$ 0,45.
Vamos calcular quantos CDs daria para comprar:
756 ÷ 0,45 = 1.680 CDs.
O Veredito: A regra dizia que essa faixa só vale para menos de 1000 CDs. Nós achamos 1.680.
Isso é uma CONTRADIÇÃO. (1680 não é menor que 1000).
Resultado descartado.
3. Testando a Hipótese 2 (Faixa dos “Médios”: 1000 a 2500)
Preço unitário nesta faixa: R$ 0,40.
Vamos calcular:
756 ÷ 0,40 = 1.890 CDs.
O Veredito: A regra diz que essa faixa vale para quantidades entre 1000 e 2500.
O número 1.890 está entre 1000 e 2500? SIM!
Temos uma correspondência perfeita.
4. Testando a Hipótese 3 (Só para garantir)
Preço unitário nesta faixa: R$ 0,35.
Vamos calcular:
756 ÷ 0,35 = 2.160 CDs.
O Veredito: A regra diz que essa faixa só vale para mais de 2500 CDs. Nós achamos 2.160.
Isso é uma CONTRADIÇÃO. (2160 não é maior que 2500).
Resultado descartado.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Note que os números errados (1.680 e 2.160) aparecem nas alternativas A e C! O examinador sabe que se você dividir pelo número errado e achar um valor inteiro, você vai ficar tentado a marcar. Não marque apenas porque a conta deu exata; marque apenas se o resultado fizer sentido lógico com a regra da tabela.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Ao dividir o orçamento de CDs (756) pelo preço da faixa intermediária (0,40), encontramos 1.890 CDs, que é um valor compatível com a própria faixa.
- Expectativa: Procurar a alternativa que contém 1.890.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1 680.
Diagnóstico do Erro: Falta de Validação (Contradição Lógica).
O aluno dividiu 756 por 0,45 e achou 1.680. Porém, para pagar 0,45, a quantidade deveria ser menor que 1.000. Como 1.680 > 1.000, isso é impossível.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1 890.
Análise de Correspondência:
Dividindo 756 por 0,40, obtemos 1.890.
A faixa de preço 0,40 exige que a quantidade esteja entre 1.000 e 2.500.
Como 1.890 está dentro desse intervalo, a conta fecha perfeitamente.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 2 160.
Diagnóstico do Erro: Falta de Validação (Contradição Lógica).
O aluno dividiu 756 por 0,35 e achou 2.160. Porém, para pagar 0,35, a quantidade deveria ser maior ou igual a 2.500. Como 2.160 < 2.500, isso é impossível.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 2 520.
Diagnóstico do Erro: Cálculo Aleatório.
Número provavelmente colocado para confundir ou próximo de múltiplos incorretos. Não deriva de uma divisão direta lógica dos valores apresentados.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 2 880.
Diagnóstico do Erro: Distrator Numérico.
Valor elevado, sem conexão direta com as divisões principais dos custos apresentados.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A alternativa B é a única correta, pois é o único cenário onde a quantidade comprada (1.890) justifica o preço pago por unidade (R$ 0,40), respeitando as regras do contrato.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Não basta a conta bater, a regra tem que valer: o resultado deve caber na caixa que você escolheu.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é a base do funcionamento do Imposto de Renda (IRRF). O governo tem “alíquotas” (porcentagens) que mudam conforme o seu salário aumenta. Se você aplicar a alíquota errada a um salário, encontrará um imposto devido que não faz sentido lógico para aquela faixa. Na programação de computadores, isso é chamado de estrutura condicional (“IF/ELSE”).
