Questão 143 do Enem 2017 Libras: túnel do trem – resolução comentada (caderno verde)

A questão 143 do Enem 2017 Libras (caderno verde, Dia 2) é de Matemática e cobra o túnel para a passagem de um trem. O gabarito é a alternativa A. Abaixo você confere o enunciado, a resolução passo a passo e por que cada alternativa errada engana tantos candidatos.

Enunciado da questão 143 do Enem 2017 Libras

Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2.

A equação que descreve a parábola é

Resolução comentada da questão 143

Matérias necessárias para resolver a questão

• Função Quadrática (Função do 2º Grau)
• Análise de Gráfico da Parábola (Concavidade, Vértice e Raízes)
• Geometria Analítica

Tema e objetivo geral

Tema/Objetivo Geral: Identificar a equação correta que representa uma parábola a partir de sua representação gráfica num plano cartesiano.

Nível da questão

• Médio. A questão pode ser resolvida tanto por um método de construção da equação (mais difícil e demorado) quanto por um método de eliminação (mais rápido e estratégico). A dificuldade reside em extrair corretamente as informações visuais do gráfico e traduzi-las nas propriedades matemáticas da equação da parábola.

Gabarito da questão 143: alternativa A

• A) A alternativa está correta pois é a única equação que satisfaz simultaneamente todas as três condições impostas pelo gráfico: concavidade para baixo (a < 0), intercepto em y = 10 (c = 10) e raízes em x = ±5.

Passo 1: o que a questão pede (o mapa da mina)

Decodificação do Objetivo: A missão é olhar para o desenho da parábola e descobrir qual das cinco equações apresentadas é a “identidade secreta” desse desenho.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no gráfico como o retrato falado de um suspeito, e nas equações como as fichas criminais de cinco indivíduos. O verdadeiro desafio aqui não é criar um retrato do zero, mas sim atuar como um agente de reconhecimento: comparar as características-chave do retrato falado (os pontos importantes do gráfico) com as informações de cada ficha (as equações) para encontrar a correspondência perfeita.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

• Interrogar o Gráfico: Vamos extrair 3 informações cruciais do “retrato falado” (o gráfico).
• Criar uma Lista de Pistas: Traduziremos essas informações em 3 “regras” ou “características” que a equação correta deve obedecer.
• Processo de Eliminação: Usaremos essa lista para eliminar sistematicamente os “suspeitos” (as alternativas) que não se encaixam no perfil.
• Confirmar o Culpado: Faremos um teste final com a alternativa restante para garantir que ela é a correta.

Passo 2: túnel do trem

Para organizar nossas pistas, vamos montar um dossiê de investigação que conecta as evidências visuais do gráfico com as propriedades da equação da parábola y = ax² + bx + c.

Dossiê de Investigação da Parábola

Com este dossiê, estamos prontos para a perícia!

Passo 3: resolução passo a passo (mão na massa)

Vamos executar nosso plano, usando cada pista para eliminar os suspeitos metodicamente.

• 🔎 Análise da Pista 1: A Concavidade
  • Evidência: O gráfico mostra uma parábola com a “boca” virada para baixo.
  • Consequência: Pelo nosso dossiê, o coeficiente a da equação deve ser negativo.
  • Ação: Eliminamos as alternativas (B) e (D), pois seus coeficientes a são positivos (2/5 e 1, respectivamente).
  • Suspeitos restantes: (A), (C), (E).
• 🔎 Análise da Pista 2: O Intercepto em Y
  • Evidência: O gráfico cruza o eixo Y exatamente no ponto y = 10.
  • Consequência: O coeficiente c (termo independente) da equação deve ser +10.
  • Ação: Eliminamos a alternativa (E), cujo c é +25.
  • Suspeitos restantes: (A), (C).
• 🔎 Análise da Pista 3: As Raízes (A Prova Final)
  • Evidência: O gráfico cruza o eixo X nos pontos x = -5 e x = 5. Isso significa que o par (5, 0) deve pertencer à função.
  • Consequência: Se substituirmos x = 5 na equação correta, o resultado para y deve ser 0.
  • Ação (Interrogatório final):
    • Testando a (C) y = -x² + 10:
      y = -(5)² + 10
      y = -25 + 10
      y = -15
      Resultado incorreto! Deveria ser 0. A alternativa (C) está descartada.
    • Testando a (A) y = -(2/5)x² + 10:
      y = -(2/5) * (5)² + 10
      y = -(2/5) * 25 + 10
      y = -50/5 + 10
      y = -10 + 10 = 0
      Resultado perfeito! A alternativa (A) é a correta.

ARMADILHA CLÁSSICA!

Cuidado! A armadilha mais sedutora aqui é a “memória cruzada” entre os conceitos de diferentes funções. A mente pode se lembrar que “o termo independente corta o eixo Y”, mas se confundir sobre qual termo.

• Função de 1º Grau (y = ax + b): O coeficiente b é o intercepto Y.
• Função de 2º Grau (y = ax² + bx + c): O coeficiente c é o intercepto Y.

Muitos erram por associar b a essa função por hábito da reta. Defenda-se com calma: antes de resolver, visualize a forma geral da equação y = ax² + bx + c e associe corretamente: ‘c’ de ‘corta’ o eixo Y na parábola.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

• Síntese do raciocínio: Usamos a concavidade para determinar o sinal do coeficiente a. Usamos o intercepto Y para determinar o valor do coeficiente c. E, por fim, usamos uma das raízes para testar as alternativas restantes e encontrar a única equação que satisfaz todas as condições.
• Expectativa: O “retrato falado” da resposta é uma equação onde a < 0, c = 10 e que resulta em y = 0 quando x = 5.

Passo 4: alternativas comentadas (a autópsia)

• A) y = – (2/5)x² + 10
  • Análise de Correspondência: Passou em todos os nossos três testes de verificação: concavidade para baixo (a = -2/5), intercepto em Y correto (c = +10) e raiz correta (y=0 para x=5). Corresponde perfeitamente ao retrato falado.
  • Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
• B) y = (2/5)x² + 10
  • A “Narrativa do Erro”: O candidato ignora ou interpreta mal a concavidade da parábola.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta com a Concavidade. O gráfico mostra a<0.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
• C) y = -x² + 10
  • A “Narrativa do Erro”: O candidato realiza as duas primeiras verificações (a<0 e c=+10), que estão corretas, mas falha em executar o passo final de verificação com a raiz, caindo na armadilha de não fazer o teste completo.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Falha na Verificação do Ponto (Raiz). A equação não contém os pontos (5,0) e (-5,0).
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
• D) y = x² – 25
  • A “Narrativa do Erro”: Uma completa má interpretação das características do gráfico.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Erro Duplo: Contradição com a Concavidade (a>0) e com o Intercepto Y (c=-25).
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
• E) y = -x² + 25
  • A “Narrativa do Erro”: O candidato pode confundir a altura máxima com o c da forma canônica y=a(x-xv)²+yv, mas aqui o c não é 25.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Contradição com o Intercepto Y. O gráfico claramente corta o eixo y em 10, não em 25.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

Passo 5: resumo e aprendizagem expandida

Frase de Fechamento: A resposta correta é a alternativa A, a única que sobreviveu ao interrogatório cruzado de todas as pistas visuais fornecidas pelo gráfico, provando que uma investigação metódica leva à identidade correta.

Resumo-flash (A Imagem Mental): Boca triste? ‘a’ negativo. Tocou o Y? Achou o ‘c’. Cruzou o X? Teste a raiz, sem errar.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de descrever uma trajetória curva com uma equação parabólica é a base da Balística (Física). Quando um projétil é lançado (uma bola de canhão, uma bola de basquete, um jato d’água), sua trajetória no ar, desconsiderando a resistência, é uma parábola perfeita. Físicos e engenheiros usam equações quadráticas, idênticas às desta questão, para calcular o alcance, a altura máxima e o tempo de voo de qualquer objeto lançado. A equação que modela a arquitetura de um túnel é fundamentalmente a mesma que descreve o arremesso de um atleta.

Continue estudando

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