Uma competição automobilística prevê a realização de uma viagem entre as cidades X e Y, com uma parada na cidade intermediária Z, onde os competidores passarão a noite. O navegador de uma equipe decide fazer um mapa contendo uma rota que passa por essas três cidades. Nesse mapa é utilizada uma escala tal que a distância entre as cidades X e Z é de 12 centímetros, e a distância entre as cidades Z e Y é de 18 centímetros. Sabe-se que a distância real de X a Y é de 870 quilômetros, e que as três cidades são representadas, no mapa, ao longo de uma mesma linha reta.
A distância de X a Z, em quilômetro, é igual a
A) 290.
B) 348.
C) 435.
D) 522.
E) 580.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Razão e Proporção
- Escalas Cartográficas
- Conversão de Unidades de Medida (implícita)
- Tema/Objetivo Geral: Cálculo de distâncias reais a partir das distâncias em um mapa, utilizando o conceito de escala.
- Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão não é difícil em termos de complexidade matemática (usa-se apenas proporção direta), mas é classificada como média por exigir múltiplos passos de raciocínio: 1) interpretar os dados e somar as distâncias no mapa; 2) estabelecer a relação de proporção (a escala); 3) aplicar essa proporção a um trecho específico. A possibilidade de erro na organização das etapas ou no cálculo eleva o nível para além do “fácil”.
- Gabarito: B) 348. A alternativa está correta pois, ao descobrir que cada centímetro no mapa corresponde a 29 quilômetros na realidade (870 km / 30 cm), a aplicação desse fator à distância de 12 cm do trecho X-Z resulta exatamente em 348 km.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a questão nos dá uma “cola”: a distância total em um mapa (em cm) e seu valor correspondente no mundo real (em km). Nossa missão é usar essa “cola” para traduzir a medida de um pedaço desse mapa para sua distância real em quilômetros.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no mapa como uma maquete de um prédio. Se você sabe que a altura total do prédio real é de 870 metros e a da maquete é de 30 centímetros, você descobre o “fator de encolhimento”. O verdadeiro desafio aqui é calcular esse “fator” e depois usá-lo para descobrir a altura real de uma janela que na maquete mede 12 centímetros. Trocamos prédio por estrada, mas a lógica é a mesma.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Determinar a Distância Total no Mapa: Somaremos as distâncias parciais (X-Z e Z-Y) para encontrar a distância total de X a Y no mapa.
- Encontrar o “Fator de Conversão”: Criaremos uma proporção direta entre a distância total no mapa (em cm) e a distância total na realidade (em km) para descobrir quantos quilômetros reais cada centímetro do mapa representa.
- Executar a “Tradução” Final: Aplicaremos esse “fator de conversão” à distância do trecho que nos interessa (X-Z, de 12 cm) para encontrar sua medida real.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, nossa principal ferramenta é a Proporção, a alma do conceito de Escala. Vamos organizar as pistas com um diálogo rápido entre um detetive mestre e seu aprendiz.
Diálogo Mentor-Aluno: A Proporção Direta 🕵️♂️ & 🧠
- 🧠 (Aprendiz): “Mestre, vejo distâncias em cm e em km. Preciso converter tudo para a mesma unidade, como centímetros? Isso vai gerar um número gigantesco (870 km = 87.000.000 cm) e posso me perder nos zeros!”
- 🕵️♂️ (Mentor): “Excelente observação, jovem detetive! Essa é a rota cênica, cheia de perigos. Existe um atalho mais elegante. A beleza da proporção é que podemos criar uma relação direta entre as unidades que nos interessam. Se a questão nos dá um valor em cm e pede a resposta final em km, podemos criar um fator de conversão direto: ‘quantos quilômetros por centímetro?’. Assim, evitamos os números enormes e vamos direto ao ponto. A consistência é a chave: se uma relação cm/km é válida para o todo, ela é válida para qualquer parte.”
- 🧠 (Aprendiz): “Entendi! Então, em vez de encontrar uma escala formal (1:X), vamos encontrar um fator prático de conversão (Y km/cm)?”
- 🕵️♂️ (Mentor): “Exatamente. É como ter uma chave-mestra que abre todas as portas deste problema sem precisar arrombar nenhuma.”
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso Plano de Ataque!
-
Executando o Passo 1 (Distância Total no Mapa):
- A pista nos diz que a viagem vai de X a Y, com parada em Z. As cidades estão em linha reta.
- Distância X-Z no mapa = 12 cm
- Distância Z-Y no mapa = 18 cm
- Distância total X-Y no mapa = 12 cm + 18 cm = 30 cm.
-
Executando o Passo 2 (O “Fator de Conversão”):
- Nós sabemos que esses 30 cm no mapa correspondem a 870 km na vida real.
- Agora, a pergunta de ouro: Se 30 cm equivalem a 870 km, quanto vale 1 cm?
- Fator = (Distância Real) / (Distância no Mapa) = 870 km / 30 cm
- Fator = 29 km/cm.
- Conclusão da Pista: Cada centímetro desenhado nesse mapa representa 29 quilômetros de estrada real. Esta é a nossa chave-mestra.
-
Executando o Passo 3 (A “Tradução” Final):
- O comando da questão pede a distância real de X a Z.
- No mapa, a distância X-Z é de 12 cm.
- Usando nossa chave-mestra: se 1 cm = 29 km, então 12 cm serão…
- Distância real X-Z = 12 cm × 29 km/cm = 348 km.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o pânico das unidades. Muitos candidatos veem “escala” e imediatamente convertem 870 km para 87.000.000 cm para achar a escala formal (que seria 30 / 87.000.000 = 1 / 2.900.000). Isso não está errado, mas abre uma porta enorme para erros de contagem de zeros. A armadilha mais sedutora é complicar o que pode ser simples. Ao criar o fator direto “km/cm”, você se blinda contra essa complexidade desnecessária.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Estabelecemos uma proporção direta entre a distância total no mapa (30 cm) e a distância total real (870 km), o que nos deu um fator de conversão de 29 km por cm. Aplicamos este fator à distância de mapa do segmento X-Z (12 cm) para encontrar sua contraparte real.
- Expectativa: Estamos procurando uma alternativa que apresente o valor numérico 348.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Agora, vamos confrontar nosso “retrato falado” com os suspeitos (as alternativas).
- A) 290.
- Análise de Correspondência: Não corresponde à nossa expectativa de 348.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calcula corretamente o fator de conversão (29 km/cm), mas na hora de multiplicar, talvez por um lapso, multiplica por 10 (29 x 10 = 290) em vez de 12.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo ou Aplicação Incorreta do Fator.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 348.
- Análise de Correspondência: Perfeita. O valor corresponde exatamente ao resultado da nossa investigação (12 cm × 29 km/cm).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- C) 435.
- Análise de Correspondência: Não corresponde.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ignorar os dados de 12 cm e 18 cm e assumir que a cidade Z fica exatamente na metade do caminho entre X e Y. Assim, ele simplesmente divide a distância total por 2 (870 km / 2 = 435 km).
- O “Diagnóstico do Erro”: Suposição Falsa (ignorar dados fornecidos e assumir um ponto médio).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 522.
- Análise de Correspondência: Não corresponde.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato faz todo o raciocínio corretamente (encontra o fator 29 km/cm), mas na etapa final, em vez de calcular a distância X-Z (12 cm), ele calcula a distância Z-Y (18 cm). Ou seja, 18 cm × 29 km/cm = 522 km.
- O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Comando (calculou a distância correta, mas do trecho errado).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 580.
- Análise de Correspondência: Não corresponde.
- A “Narrativa do Erro”: Este erro é menos intuitivo, mas pode vir de uma inversão da proporção. Por exemplo, dividir 870 pela proporção entre os trechos (870 / 1.5, onde 1.5 é 18/12), levando a um valor próximo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Relação Proporcional Inválida.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa correta é a B) 348 km. O grande segredo não estava na complexidade do cálculo, mas na clareza da estratégia: encontrar a proporção-chave que conecta o mundo do mapa ao mundo real.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Todo mapa tem sua “legenda secreta”; encontre a taxa de câmbio (km por cm) e você poderá “comprar” qualquer distância.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de escala é vital na Engenharia Civil e na Arquitetura. Quando um engenheiro projeta uma ponte em um software de computador (um “mapa” digital), ele usa uma escala precisa. A força que uma viga suporta no modelo digital é proporcional à força que a viga real suportará na construção. Um erro de escala no projeto pode causar um colapso catastrófico na realidade. Assim, o raciocínio que usamos para planejar uma viagem é o mesmo que garante que um arranha-céu permaneça de pé. A escala governa a transição do projeto para a realidade.
