Questão 142 do Enem 2017 Libras: sequência de palitos – resolução comentada (caderno verde)

A questão 142 do Enem 2017 Libras (caderno verde, Dia 2) é de Matemática e cobra a sequência de figuras formadas por palitos. O gabarito é a alternativa B (39). Abaixo você confere o enunciado, a resolução passo a passo e por que cada alternativa errada engana tantos candidatos.

Enunciado da questão 142 do Enem 2017 Libras

A figura ilustra uma sequência de formas geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra. 

Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o décimo termo da sequência? 

A) 30 

B) 39 

C) 40 

D) 43 

E) 57

Resolução comentada da questão 142

Matérias necessárias para resolver a questão

• Reconhecimento de Padrões e Sequências
• Progressão Aritmética (PA)

Tema e objetivo geral

Tema/Objetivo Geral: Identificar um padrão sequencial em uma representação visual e utilizar o conceito de Progressão Aritmética para encontrar um termo futuro da sequência.

Nível da questão

• Fácil. O padrão visual é claro e leva diretamente a uma Progressão Aritmética simples. A resolução exige apenas a contagem inicial correta e a aplicação de uma fórmula fundamental da matemática do ensino médio.

Gabarito da questão 142: alternativa B

• B) 39. A alternativa está correta, pois a sequência do número de palitos forma uma Progressão Aritmética de razão 4, e o cálculo do décimo termo usando a fórmula da PA resulta em 39.

Passo 1: o que a questão pede (o mapa da mina)

Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é descobrir a “receita” de como as figuras são construídas, para que possamos prever exatamente quantos palitos a décima figura da sequência terá, sem precisar desenhá-la.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como construir uma cerca. O primeiro poste com as tábuas é a primeira figura. Para aumentar a cerca (criar a segunda figura), você não constrói uma seção inteiramente nova; você aproveita o último poste e adiciona um novo poste e novas tábuas. O verdadeiro desafio aqui é identificar exatamente qual é o “kit de expansão” que se repete a cada passo.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

• Contar as Evidências: Vamos contar o número de palitos em cada uma das três figuras apresentadas.
• Decifrar o Padrão de Crescimento: Analisaremos quantos palitos são adicionados para ir de uma figura para a próxima. É aqui que o segredo se revela.
• Formular a “Lei do Crime”: Traduziremos esse padrão em uma regra matemática (a Progressão Aritmética).
• Aplicar a Lei para Prever o Futuro: Usaremos essa regra para calcular o número de palitos na décima figura.

Passo 2: sequência de palitos

A ferramenta-chave para decifrar este enigma é a Progressão Aritmética (PA). Ela é a especialista em sequências com crescimento constante.

Tabela Comparativa (Análise do Crescimento)

A investigação mostra um padrão claríssimo: a cada novo passo, adicionamos exatamente 4 palitos. Esse crescimento constante é a “impressão digital” de uma Progressão Aritmética.

Dossiê da Ferramenta: A Progressão Aritmética (PA)

• 🕵️‍♂️ Identidade: Uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.
• Constante Chave (a “Razão”): Chamamos essa constante de r. No nosso caso, r = 4.
• Termo Inicial (o “Marco Zero”): É o primeiro valor da sequência. Chamamos de a₁. No nosso caso, a₁ = 3.
• ⚙️ Fórmula Mestra (a “Chave Universal”): Para descobrir o valor de qualquer termo (an) sem precisar calcular todos os anteriores:
  an = a₁ + (n – 1) * r

Passo 3: resolução passo a passo (mão na massa)

Vamos agora usar nossa “Chave Universal” para resolver o caso.

• Execução Sequencial:
  1. Identificando as Variáveis do Crime:
     • Termo que queremos descobrir: o 10º (n = 10).
     • Termo inicial: a₁ = 3.
     • Razão do crescimento: r = 4.
  2. Aplicando a Fórmula Mestra:
     a₁₀ = a₁ + (10 – 1) * r
     a₁₀ = 3 + (9) * 4
     a₁₀ = 3 + 36
     a₁₀ = 39

A matemática não mente. A décima figura exigirá exatamente 39 palitos.

ARMADILHA CLÁSSICA!

A armadilha aqui é o raciocínio simplista: “Cada triângulo usa 3 palitos. Para a décima figura, que parece ter 5 triângulos duplos, ou algo assim… ah, vou multiplicar 10 por 3, que dá 30!”. Esse raciocínio está errado porque ele ignora a pista mais importante: os triângulos compartilham palitos! 

Adicionar um novo triângulo à estrutura não custa 3 palitos, mas menos, pois um lado já está lá. Defenda-se focando no crescimento da sequência (quantos palitos são adicionados a cada passo), não no total de palitos por triângulo.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

• Síntese do raciocínio: Identificamos que a sequência do número de palitos (3, 7, 11, …) constitui uma Progressão Aritmética com termo inicial 3 e razão 4. Aplicamos a fórmula do termo geral da PA para n=10 e encontramos o resultado.
• Expectativa: O “retrato falado” da nossa resposta é o número 39.

Passo 4: alternativas comentadas (a autópsia)

• A) 30
  • Análise de Correspondência: Não corresponde à nossa expectativa de 39.
  • A “Narrativa do Erro”: O candidato cai na Armadilha Clássica. Ele raciocina que se são 10 termos, e a figura base é um triângulo de 3 palitos, a resposta seria 10 * 3 = 30.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Generalização Excessiva (ignorar o compartilhamento de lados).
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
• B) 39
  • Análise de Correspondência: Perfeita. Corresponde exatamente ao resultado da nossa investigação dedutiva usando a fórmula da PA.
  • Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
• C) 40
  • Análise de Correspondência: Não corresponde a 39.
  • A “Narrativa do Erro”: Um erro de cálculo comum. O candidato pode pensar que a regra é simplesmente multiplicar o número do termo pela razão: 10 * 4 = 40.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Aplicação Incorreta do Conceito de PA.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
• D) 43
  • Análise de Correspondência: Não corresponde a 39.
  • A “Narrativa do Erro”: O candidato lembra da fórmula da PA, mas a aplica errada, esquecendo o “-1”. Ele calcula a₁₀ = a₁ + 10 * r = 3 + 10 * 4 = 43.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Aplicação Incorreta da Fórmula (esquecer o n-1).
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
• E) 57
  • Análise de Correspondência: Não corresponde a 39.
  • A “Narrativa do Erro”: Este valor é distante dos outros e provavelmente resulta de uma confusão maior, talvez somando os termos ou tentando usar uma fórmula de Progressão Geométrica por engano.
  • O “Diagnóstico do Erro”: Confusão Conceitual Grave / Erro de Cálculo.
  • Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

Passo 5: resumo e aprendizagem expandida

Frase de Fechamento: A resposta correta é 39, um resultado obtido ao traduzir um padrão visual para a linguagem poderosa e preditiva das Progressões Aritméticas.

Resumo-flash (A Imagem Mental): Figura cresce constante? É uma PA, pode confiar. Use a fórmula, sem desviar.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de progressão aritmética governa os Juros Simples em finanças. Se você investe um valor inicial (a₁) e a cada mês recebe uma quantia fixa de juros (r), o montante total ao final de n meses seguirá a fórmula de uma PA. A matemática que descreve como construir triângulos com palitos é a mesma que descreve o crescimento linear de um investimento simples, mostrando como padrões de crescimento constante aparecem em áreas totalmente diferentes do conhecimento.

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