A nota final de um estudante em uma disciplina é dada pela mediana das notas de suas quatro provas.
Cinco estudantes dessa disciplina obtiveram as notas apresentadas no quadro.
O professor dessa disciplina pediu a cada estudante que calculasse sua nota final e lhe apresentasse o resultado obtido. Os resultados informados pelos estudantes foram:
• estudante I: 77;
• estudante II: 70;
• estudante III: 70;
• estudante IV: 60;
• estudante V: 70.
Qual(is) estudante(s) acertou(aram) sua nota final?
A) I
B) III
C) II e III
D) II e V
E) IV e V
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Estatística Descritiva e Aritmética).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de Mediana em conjuntos de dados com número par de elementos e verificação de fidedignidade de resultados informados.
Nível da Questão: Fácil-Médio.
- A questão é classificada neste nível porque, embora o conceito de mediana seja simples, ela exige que o candidato realize o procedimento de organização (Rol) e cálculo cinco vezes seguidas, o que aumenta consideravelmente a chance de um erro por distração.
- O maior desafio é não cair na tentação de calcular a média aritmética ou de pegar os valores centrais sem antes ordenar os dados, um erro fatal e comum em provas de longa duração.
Gabarito: Alternativa E.
- Os estudantes IV e V foram os únicos que apresentaram resultados condizentes com a mediana de suas notas. Após ordenar os dados, a média dos dois valores centrais resultou em 60 para o estudante IV e 70 para o estudante V, exatamente o que informaram ao professor.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A nossa missão é atuar como auditores de notas. Precisamos recalcular a mediana das quatro provas de cada um dos cinco alunos e descobrir quem deles sabe matemática o suficiente para não informar a própria nota errada.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem quatro pessoas em uma fila indiana, organizadas por altura. Como não existe uma única pessoa “exatamente no meio”, a mediana é como se déssemos as mãos para as duas pessoas do centro e tirássemos a média da altura delas. O verdadeiro desafio aqui é: ninguém pode ficar fora de ordem na fila!
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Organizar o “Rol”: Colocar as quatro notas de cada aluno em ordem crescente.
- Localizar o Centro: Identificar os dois valores que ficaram no meio da sequência.
- Calcular a Mediana: Tirar a média simples desses dois valores centrais.
- Confrontar os Dados: Comparar o nosso cálculo com o que cada estudante disse ao professor.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação, vamos utilizar uma Ficha Técnica de Procedimento Estatístico para garantir que a nossa auditoria seja impecável.
FICHA TÉCNICA: O PROTOCOLO DA MEDIANA
- Ferramenta 1: O Rol (Ordenação). Nunca, sob hipótese alguma, calcula-se a mediana com os dados “bagunçados”. A ordenação é o primeiro passo obrigatório.
- Ferramenta 2: O Termo Central (n par). Quando o número de elementos (n) é par (como o 4, neste caso), a mediana (Md) é a média aritmética dos termos nas posições n/2 e (n/2) + 1.
- Em português: É a média entre o 2º e o 3º termo da lista ordenada.
- Ferramenta 3: A Média Central. Md = (Valor2 + Valor3) / 2.
- Diferença Crucial: Enquanto a Média soma tudo e divide pelo total, a Mediana olha apenas para a posição. Ela é a medida de “centro” que ignora os extremos (as notas muito altas ou muito baixas).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora realizar a auditoria individual de cada estudante. Siga o rastro dos números organizados:
Estudante I:
- Notas brutas: 85, 45, 90, 45
- Rol (Ordenado): 45, 45, 85, 90
- Cálculo: (45 + 85) / 2 = 130 / 2 = 65
- Informou: 77. Veredito: Errou.
Estudante II:
- Notas brutas: 80, 70, 70, 75
- Rol (Ordenado): 70, 70, 75, 80
- Cálculo: (70 + 75) / 2 = 145 / 2 = 72,5
- Informou: 70. Veredito: Errou.
Estudante III:
- Notas brutas: 75, 75, 75, 55
- Rol (Ordenado): 55, 75, 75, 75
- Cálculo: (75 + 75) / 2 = 150 / 2 = 75
- Informou: 70. Veredito: Errou.
Estudante IV:
- Notas brutas: 85, 35, 35, 90
- Rol (Ordenado): 35, 35, 85, 90
- Cálculo: (35 + 85) / 2 = 120 / 2 = 60
- Informou: 60. Veredito: ACERTOU!
Estudante V:
- Notas brutas: 60, 70, 70, 75
- Rol (Ordenado): 60, 70, 70, 75
- Cálculo: (70 + 70) / 2 = 140 / 2 = 70
- Informou: 70. Veredito: ACERTOU!
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno pegar os dois valores que aparecem fisicamente no meio da tabela original (Prova 2 e Prova 3) sem ordenar. Veja o Estudante I: se você pegasse 45 e 90 (os valores do meio na tabela), a média daria 67,5. A armadilha sedutora é a pressa de “economizar tempo” não fazendo o Rol. Lembre-se: Mediana sem ordem é apenas um número aleatório!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Realizamos a ordenação das notas e calculamos a média do 2º e 3º termos. Apenas os estudantes IV e V reportaram valores idênticos aos calculados.
- Expectativa: O par de estudantes correto é IV e V.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) I
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter calculado a média aritmética (85+45+90+45)/4 = 66,25 e se confundido, ou simplesmente errou a conta da mediana. O estudante I informou 77, um valor sem qualquer base estatística no conjunto.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Processamento de Dados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) III
- A Narrativa do Erro: O estudante III informou 70, que é um valor que sequer aparece nas suas notas (ele só tirou 55 ou 75). O aluno que marca essa opção provavelmente não calculou a mediana (que é 75).
- Diagnóstico do Erro: Omissão de Etapa (Não realizou o cálculo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) II e III
- A Narrativa do Erro: O candidato pode ter achado que a mediana era apenas o valor que mais se repetia (Moda) para o estudante II, ou cometeu erros de ordenação em ambos.
- Diagnóstico do Erro: Confundir Mediana com Moda.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) II e V
- A Narrativa do Erro: O candidato acerta a auditoria do estudante V, mas falha no estudante II ao não perceber que a mediana (72,5) é diferente da nota informada (70).
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Acertou apenas metade da investigação).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) IV e V
- Análise de Correspondência: Esta alternativa aponta os únicos dois estudantes cujos cálculos de mediana (60 e 70, respectivamente) batem exatamente com o que informaram ao professor. É a conclusão lógica da nossa auditoria.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A auditoria foi encerrada com a vitória da Alternativa E. Aprendemos que a mediana é a medida de centro mais robusta quando temos notas muito discrepantes.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Coloque em ordem, pegue os dois do meio e tire a média; se bater com o que ele disse, ele acertou.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse conceito de Mediana é fundamental no Mercado Imobiliário e na Análise de Salários. Se você quer saber o preço real das casas em um bairro, a “Média” pode te enganar se houver um palácio de 100 milhões no meio de casas de 500 mil. A Mediana vai te mostrar o valor da casa que está exatamente no meio da lista, dando uma visão muito mais honesta da realidade. A matemática das provas dos estudantes é a mesma que economistas usam para entender o custo de vida de um país!
