No Brasil, o tempo necessário para um estudante realizar sua formação até a diplomação em um curso superior, considerando os 9 anos de ensino fundamental, os 3 anos do ensino médio e os 4 anos de graduação (tempo médio), é de 16 anos. No entanto, a realidade dos brasileiros mostra que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos é ainda muito pequeno, conforme apresentado na tabela
Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente.
O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será:
A) 2018.
B) 2023.
C) 2031.
D) 2035.
E) 2043.
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Progressão Aritmética – PA)
- Matemática (Análise de Tabelas, Porcentagem, Equações do 1º Grau)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Modelagem de uma situação-problema utilizando uma Progressão Aritmética para fazer uma projeção futura e determinar o tempo necessário para atingir uma meta.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige a identificação de um padrão nos dados da tabela (a PA), o cálculo da meta a ser atingida e a aplicação da fórmula do termo geral da PA para encontrar o número de períodos necessários, o que envolve vários passos de cálculo e interpretação.
✅ Gabarito
Alternativa D.
Resumo: O problema é resolvido modelando o aumento do tempo de estudo como uma PA. Primeiro, calcula-se a meta (70% de 16 anos = 11,2 anos). Em seguida, identifica-se o padrão de crescimento (razão da PA = 0,6 anos a cada 4 anos). Utilizando a fórmula do termo geral da PA, encontra-se o número de períodos necessários (n=10), e, a partir daí, calcula-se o ano correspondente (1995 + 10 * 4 = 2035).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para prever em que ano o tempo médio de estudo dos brasileiros vai atingir um valor específico (a meta).
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Calcular qual é a meta em anos de estudo.
- Descobrir qual é o padrão de crescimento (quanto aumenta e de quanto em quanto tempo).
- Usar esse padrão para projetar quando a meta será alcançada.
🧠 O tempo de estudo aumenta em intervalos de quantos anos? E quanto ele aumenta em cada intervalo? Perceber que esse aumento é constante é o que nos permite usar a “mágica” da Progressão Aritmética.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Progressão Aritmética (PA): É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante chamada razão (r).
- Fórmula do Termo Geral da PA: Permite encontrar o valor de qualquer termo (a_n) da sequência.
a_n = a₁ + (n – 1) ⋅ r
Onde:- a_n = o termo que queremos encontrar (o valor da meta).
- a₁ = o primeiro termo da sequência.
- n = a posição do termo que queremos encontrar (o número de períodos).
- r = a razão (o valor do aumento constante).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos uma meta: queremos que o brasileiro estude, em média, 70% do tempo necessário para se formar na faculdade (16 anos). E temos um histórico: uma tabela que mostra que, a cada 4 anos, o tempo médio de estudo vem aumentando um pouquinho de forma constante.
A tarefa é como prever o futuro. Se a gente continuar nesse mesmo ritmo de crescimento, em que ano finalmente bateremos a nossa meta?
Para isso, vamos usar a matemática das sequências (a PA). A tabela nos dá o ponto de partida e o ritmo de crescimento. A meta é o nosso ponto de chegada. O que queremos descobrir é “quantos passos” (períodos de 4 anos) precisaremos dar para chegar lá.
Estratégia Geral 🗺️
- Definir a Meta: Calcular 70% de 16 anos.
- Modelar a PA: Identificar o primeiro termo (a₁), a razão (r) e o valor do termo final (a_n) a partir da tabela e da meta.
- Calcular ‘n’: Usar a fórmula do termo geral da PA para encontrar n, que será o número de períodos de 4 anos necessários.
- Calcular o Ano Final: A partir do ano inicial, somar os n períodos de 4 anos para encontrar o ano em que a meta será atingida.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular a meta (a_n)
- Tempo total de formação = 16 anos.
- Meta = 70% de 16.
- Meta = 0,70 × 16 = 11,2 anos.
Este é o valor que queremos alcançar, nosso a_n.
Etapa 2: Identificar os elementos da PA na tabela
- A sequência do tempo de estudo é: (5,2; 5,8; 6,4; 7,0; …).
- Primeiro termo (a₁): Corresponde ao ano de 1995. a₁ = 5,2.
- Razão (r): É o aumento constante entre os termos.
- r = 5,8 – 5,2 = 0,6
- r = 6,4 – 5,8 = 0,6
- r = 7,0 – 6,4 = 0,6
- A razão é r = 0,6 anos.
- Período: Note que esse aumento de 0,6 anos ocorre a cada 4 anos (1999-1995, 2003-1999, etc.).
Etapa 3: Calcular o número de períodos (n)
- Usaremos a fórmula do termo geral: a_n = a₁ + (n – 1) ⋅ r
- Dados: a_n = 11,2; a₁ = 5,2; r = 0,6.
- 11,2 = 5,2 + (n – 1) ⋅ 0,6
- 11,2 – 5,2 = (n – 1) ⋅ 0,6
- 6,0 = (n – 1) ⋅ 0,6
- n – 1 = 6,0 / 0,6
- n – 1 = 10
- n = 11
O que significa n = 11? Significa que a meta (11,2 anos) é o 11º termo da nossa progressão.
Etapa 4: Calcular o ano correspondente ao 11º termo
- O 1º termo (n=1) ocorreu em 1995.
- Do 1º termo até o 11º termo, se passaram 10 intervalos (11 – 1 = 10).
- Cada intervalo dura 4 anos.
- Tempo total decorrido = 10 intervalos × 4 anos/intervalo = 40 anos.
- Ano final = Ano inicial + Tempo total decorrido
- Ano final = 1995 + 40
- Ano final = 2035
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha está no cálculo do ano final. Depois de encontrar n = 11, um aluno pode se confundir e multiplicar 11 por 4. É crucial lembrar que n é a posição na sequência. O número de intervalos entre o primeiro termo e o n-ésimo termo é sempre n-1.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou ao ano de 2035. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 2018.
🔴 B) 2023.
🔴 C) 2031.
🟢 D) 2035. Correta. Corresponde exatamente ao ano calculado.
🔴 E) 2043.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi modelado como uma Progressão Aritmética. A meta a ser atingida foi calculada como 70% de 16 anos, resultando em 11,2 anos. A partir da tabela, identificou-se o primeiro termo da PA como a₁ = 5,2 (em 1995) e a razão como r = 0,6, com os termos ocorrendo a cada 4 anos. Utilizando a fórmula do termo geral da PA, a_n = a₁ + (n – 1)r, encontrou-se que a meta de 11,2 anos corresponde ao 11º termo da sequência (n=11). Para chegar ao 11º termo a partir do 1º, são necessários 10 intervalos de 4 anos, totalizando 40 anos. Somando 40 anos ao ano inicial de 1995, conclui-se que a meta será atingida no ano de 2035.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão 🔍
Problemas de projeção com crescimento constante são um convite para usar Progressão Aritmética. A receita é: 1) Identifique a₁, r e a_n. 2) Use a fórmula para achar n. 3) Use n para calcular o tempo total decorrido e encontrar o ano final. Cuidado com a diferença entre n (posição) e n-1 (número de intervalos).
