Questão 143, caderno azul do ENEM 2017 – Dia 2

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

Questão 143 - ENEM 2017 - QUESTÃO 143,ANÁLISE COMBINATÓRIA

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

A) C_6,4

B) C_9,3

C) C_10,4

D) 6⁴

E) 4⁶

Resolução em texto

• Matérias Necessárias para a Solução: Análise Combinatória (combinações com repetição).
• Nível da Questão: Difícil
• Gabarito: B.
• Tema/Objetivo Geral: Utilizar o conceito de combinações com repetição para distribuir cores entre carrinhos, garantindo ao menos um de cada cor.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificando o Objetivo: A questão nos pede para encontrar o número de modelos distintos de caminhão-cegonha que podem ser produzidos. Um “modelo” é definido pela quantidade de carrinhos de cada cor, e não pela posição deles.

Simplificando, o verdadeiro desafio aqui é um problema de distribuição com uma regra especial. Temos 10 “vagas” de carrinhos para serem preenchidas com 4 cores diferentes. A regra de ouro é: “deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores”. Nossa missão é contar de quantas maneiras podemos distribuir as cores restantes após cumprirmos essa regra.

Nosso Roteiro de Ação (Plano de Ataque) será o seguinte:
1. Cumprir a regra obrigatória: Primeiro, vamos garantir que cada uma das 4 cores seja usada pelo menos uma vez.
2. Determinar o que sobrou: Vamos ver quantos carrinhos ainda precisam ser pintados após cumprirmos a regra.
3. Reformular o problema: Agora teremos um problema mais simples: de quantas maneiras podemos pintar os carrinhos restantes com as 4 cores, podendo repetir as cores?
4. Identificar e aplicar a ferramenta matemática correta para resolver este novo problema de distribuição.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

O problema que temos em mãos (distribuir itens idênticos em categorias distintas, permitindo repetição) é um caso clássico de Combinação Completa, também conhecida como Combinação com Repetição. A melhor maneira de visualizar e resolver isso é com a técnica de “Bolas e Tracinhos” (Stars and Bars).

Ferramenta: A Lógica de “Bolas e Tracinhos”

As “Bolas” (●): Representam os itens que queremos distribuir. No nosso caso, serão os carrinhos que sobraram.
As “Caixas”: Representam as categorias nas quais vamos distribuir os itens. No nosso caso, são as 4 cores.
Os “Tracinhos” (|): São as divisórias que separam as caixas. Para separar k caixas, precisamos de k-1 tracinhos.

Como funciona? O problema se transforma em descobrir de quantas maneiras podemos arranjar uma fila de bolas e tracinhos. Se temos n bolas e k-1 tracinhos, temos um total de n + k – 1 posições na fila. Basta escolhermos onde colocar os tracinhos (ou as bolas).

Fórmula: O número de maneiras é dado por C(n + k – 1, k – 1) ou C(n + k – 1, n).

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos executar nosso plano, passo a passo, como um gerente de produção.

Etapa 1: Cumprir a regra obrigatória.

A regra é: “pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores”.
Vamos pegar 4 dos 10 carrinhos e pintá-los, um com cada cor: 1 amarelo, 1 branco, 1 laranja e 1 verde. Como a posição não importa, só existe uma maneira de fazer essa “reserva” inicial.

Etapa 2: Determinar o que sobrou.

Total de carrinhos: 10
Carrinhos já “reservados”: 4
Carrinhos restantes para pintar: 10 – 4 = 6 carrinhos.

Etapa 3: Reformular o problema.
Agora nosso problema é muito mais simples: “De quantas maneiras podemos pintar 6 carrinhos usando as 4 cores disponíveis?”
Aqui, podemos pintar todos os 6 de amarelo, ou 3 de amarelo e 3 de verde, etc. A repetição é permitida.

Etapa 4: Aplicar a ferramenta “Bolas e Tracinhos”.

Bolas (n): Os 6 carrinhos restantes. n = 6
Caixas (k): As 4 cores. k = 4
Tracinhos (k-1): Precisamos de 4 – 1 = 3 tracinhos para separar as 4 cores.

Temos um total de n + k – 1 posições para arranjar nossas bolas e tracinhos:
6 + 4 – 1 = 9 posições.

Dessas 9 posições, precisamos escolher 3 para colocar os tracinhos (ou 6 para colocar as bolas). Usando a fórmula da combinação:

C(9, 3) ou C(9, 6) – os dois dão o mesmo resultado.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum é ignorar a frase “Mudança de posição dos carrinhos […] não gera um novo modelo”. Isso nos diz que a ordem não importa, então devemos usar Combinação, e não Arranjo ou Permutação. Outra armadilha é aplicar a fórmula aos números originais (10 carrinhos e 4 cores) sem antes lidar com a restrição do “pelo menos um de cada”.

Síntese do raciocínio: O problema com restrição foi simplificado ao se “gastar” 4 carrinhos para cumprir a regra, sobrando 6 carrinhos para serem distribuídos livremente entre 4 cores. Este novo problema é um caso de Combinação Completa, resolvido pela fórmula C(n+k-1, k-1), onde n=6 e k=4, resultando em C(9, 3).

Expectativa: A alternativa correta deve ser a expressão C₉,₃.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

Vamos agora analisar as alternativas.

A) C₆,₄

A Narrativa do Erro: O aluno identifica corretamente que sobram 6 carrinhos para 4 cores, mas aplica a fórmula da combinação simples, como se estivesse escolhendo 4 carrinhos de um grupo de 6.
O Diagnóstico do Erro: “Erro de Fórmula (Combinação Simples em vez de Completa)”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

B) C₉,₃

Análise: Corresponde exatamente à nossa aplicação da fórmula da Combinação Completa (ou “Bolas e Tracinhos”): C(n+k-1, k-1) = C(6+4-1, 4-1) = C(9, 3).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

C) C₁₀,₄

A Narrativa do Erro: O aluno ignora a restrição e aplica a fórmula da combinação simples aos números originais.
O Diagnóstico do Erro: “Ignora a Restrição e Usa a Fórmula Errada”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) 6⁴

O Diagnóstico do Erro: “Confusão de Modelo”. Esta fórmula representaria o número de funções de um conjunto de 4 elementos para um de 6, não se aplica ao problema.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

E) 4⁶

A Narrativa do Erro: O aluno identifica corretamente os 6 carrinhos restantes, mas usa a fórmula de Arranjo com Repetição, como se a ordem dos carrinhos importasse.
O Diagnóstico do Erro: “Erro de Modelo (Arranjo em vez de Combinação)”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

A resposta correta é a B) C₉,₃, pois, após satisfazer a condição de ter uma unidade de cada cor, o problema se reduz a encontrar o número de maneiras de distribuir 6 itens idênticos (os carrinhos) em 4 categorias distintas (as cores), o que é um problema de combinação completa.

Resumo-flash (A Imagem Mental): Para contar com regras, primeiro pague a “dívida” (um carrinho de cada cor) e só então distribua livremente o que sobrou.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Fim): O método de “Bolas e Tracinhos” que usamos para resolver este problema de Análise Combinatória é uma ferramenta poderosa que conecta a Matemática com a Ciência da Computação. Este é exatamente o mesmo método usado para encontrar o número de soluções inteiras e não-negativas para uma equação. O nosso problema “distribuir 6 carrinhos em 4 cores” é matematicamente idêntico a perguntar: “Quantas soluções inteiras existem para a equação x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 6?”, onde x₁ é o número de carrinhos amarelos, x₂ o de brancos, etc. Este tipo de cálculo é fundamental em algoritmos, otimização de sistemas e na análise de distribuição de recursos em redes de computadores.