Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

A) C_6,4

B) C_9,3

C) C_10,4

D) 6⁴

E) 4⁶

Resolução em texto

• Matérias Necessárias para a Solução: Análise Combinatória (combinações com repetição).
• Nível da Questão: Médio.
• Gabarito: B.
• Tema/Objetivo Geral: Utilizar o conceito de combinações com repetição para distribuir cores entre carrinhos, garantindo ao menos um de cada cor.

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Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

• 📌 Retomar o Comando da Questão
  “Há 10 carrinhos e 4 cores (amarelo, branco, laranja, verde), cada carrinho tem apenas uma cor. Em cada conjunto de 10 carrinhos, deve haver pelo menos um de cada cor. A ordem dos carrinhos no caminhão não importa. Quantos modelos distintos podem ser formados?”
• 📌 Explicação Detalhada
  Precisamos contar a quantidade de maneiras de colorir 10 carrinhos com 4 cores, sem ordem relevante, e com a restrição de que cada cor apareça ao menos uma vez.
• 📌 Identificação de Palavras-chave
  • “pelo menos um de cada cor”
  • “ordem não importa”
  • “combinação com repetição”
• 📌 Definição do Objetivo
  Determinar o número de modos de distribuir as 4 cores entre 10 carrinhos, cada cor aparecendo pelo menos 1 vez, sem levar em conta a permutação dos carrinhos.

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Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

• 📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
  1. Combinations with Repetition: Para n cores e p carrinhos, a quantidade de modos de pintar é dada por Combinação de (n + p – 1) elementos tomados p a p, caso não houvesse restrição de “ao menos um de cada cor”.
  2. Restrição de ao menos um de cada cor: Podemos aplicar o “truque de separar” 1 carrinho para cada cor e, depois, distribuir o restante livremente.
• 📌 Fórmulas e Definições
  • Combinação com repetição: CR(p, n) = Combinação((n + p – 1), p).
  • Combinação simples: C(n, k) = n! / [k! (n – k)!].

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Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

• 📌 Análise do Contexto
  Temos 10 carrinhos, 4 cores, cada cor deve aparecer pelo menos uma vez, e a posição não importa. Então é uma contagem de combinações.
• 📌 Identificação de Frases-chave
  • “pelo menos um carrinho de cada cor”
  • “10 carrinhos, 4 cores”
  • “ordem não importa”
• 📌 Tradução para Termos Matemáticos
  Precisamos de uma partição dos 10 carrinhos em 4 grupos, cada grupo ≥ 1.

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Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

• 📌 Resolução Completa

1. Garantir ao menos 1 carrinho de cada cor
   • Separar 4 carrinhos, um para cada cor.
   • Sobram 6 carrinhos para livre distribuição.
2. Número de maneiras de distribuir 6 carrinhos em 4 cores (agora sem restrição)
   • Esse é um problema de combinação com repetição, dado por CR(6, 4).
   • CR(6, 4) equivale a C(6 + 4 – 1, 4 – 1) = C(9, 3).
3. Resultado
   • C(9, 3).

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Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

• 📌 Reescreva as Alternativas
  A) C6,4
  B) C9,3
  C) C10,4
  D) 64
  E) 46
• ✅ Justificativa da Alternativa Correta
  A contagem obtida é C(9, 3), que corresponde à letra B.
• ❌ Análise das Alternativas Incorretas
  • A, C, D, E não correspondem à contagem correta de combinações com repetição para 6 carrinhos sobrantes e 4 cores.

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Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

• 📌 Resumo do Raciocínio
  1. Precisamos de pelo menos 1 carrinho de cada cor.
  2. Subtraímos 4 carrinhos para assegurar 1 de cada cor, restam 6.
  3. Distribuímos 6 carrinhos livremente em 4 cores via CR(6, 4) = C(9, 3).
• 📌 Reafirmação da Alternativa Correta
  Alternativa B (C9,3).
• 🔍 Resumo Final
  A maneira correta de contar é retirar 1 carrinho para cada cor e, com 6 sobrando, usar combinação com repetição. O resultado final é C(9, 3).