Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:
• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm
• Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm
• Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm
• Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm
• Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior.
A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
Resolução em texto
• Matérias Necessárias: Geometria Espacial (Cálculo de volume e análise de dimensões).
• Nível da Questão: Médio.
• Gabarito: C.
• Tema/Objetivo Geral (Opcional): Analisar as dimensões das caixas para escolher aquela que melhor acomoda o cubo de 80 cm, resultando no menor espaço vazio.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
- 📌 Retomar o Comando da Questão
“Temos um objeto cúbico com aresta 80. Precisamos colocá-lo numa caixa, escolhendo dentre 5 opções, de modo que o cubo caiba e que sobre o menor espaço livre.” - 📌 Explicação Detalhada
Precisamos verificar quais caixas comportam um cubo de aresta 80. Em seguida, calculamos o volume de cada caixa que comporta o objeto e escolhemos a de menor volume para minimizar o espaço livre. - 📌 Identificação de Palavras-chave
• “Caixa com dimensões”
• “Objeto cúbico 80”
• “Menor espaço livre” - 📌 Definição do Objetivo
Determinar qual caixa tem as dimensões suficientes para o cubo e apresenta volume menor.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
- 📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Dimensão mínima: Cada aresta da caixa deve ser ao menos 80.
- Cálculo de volume: Volume = (comprimento) × (largura) × (altura).
- Escolha do menor volume: Entre as caixas válidas, selecionamos a de volume mais próximo ao do cubo, reduzindo o espaço livre.
- 📌 Fórmulas e Definições
- Volume do cubo = 80 × 80 × 80
- Volume da caixa = (dimensão 1) × (dimensão 2) × (dimensão 3)
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- 📌 Análise do Contexto
Temos 5 caixas, cada com dimensões específicas, e precisamos acomodar um cubo de 80. Se alguma dimensão da caixa for menor que 80, o cubo não cabe. - 📌 Identificação de Frases-chave
“… um objeto cúbico, de 80 cm de aresta …”
“… 5 caixas com diferentes dimensões …”
“… menor espaço livre …” - 📌 Tradução para Termos Matemáticos
- Verificar se cada dimensão ≥ 80.
- Calcular volume = (dimensão 1) × (dimensão 2) × (dimensão 3).
- Escolher caixa de menor volume válido.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- 📌 Resolução Completa 1) Verificar se o cubo cabe em cada caixa
- Caixa 1 (86 × 86 × 86): cabe, pois todas ≥ 80.
- Caixa 2 (75 × 82 × 90): não cabe, pois 75 < 80.
- Caixa 3 (85 × 82 × 90): cabe, pois 85 ≥ 80, 82 ≥ 80, 90 ≥ 80.
- Caixa 4 (82 × 95 × 82): cabe, pois 82 ≥ 80, 95 ≥ 80, 82 ≥ 80.
- Caixa 5 (80 × 95 × 85): cabe, pois 80 ≥ 80, 95 ≥ 80, 85 ≥ 80.
2) Calcular o volume de cada caixa válida
- Caixa 1: 86 × 86 × 86 = 636056
- Caixa 3: 85 × 82 × 90 = 627300
- Caixa 4: 82 × 95 × 82 = 82 × 82 × 95 = 82 × 82 = 6724 e 6724 × 95 = 638780
- Caixa 5: 80 × 95 × 85 = 80 × 95 = 7600 e 7600 × 85 = 646000
3) Comparar volumes
- Caixa 1: 636056
- Caixa 3: 627300
- Caixa 4: 638780
- Caixa 5: 646000
A menor é 627300 (Caixa 3).
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- 📌 Reescreva as Alternativas
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 - ✅ Justificativa da Alternativa Correta
A caixa 3 tem o menor volume compatível com a aresta 80, gerando menos espaço livre. - ❌ Análise das Alternativas Incorretas
• Caixa 1, 4, 5 têm volumes maiores.
• Caixa 2 nem comporta o objeto.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
- 📌 Resumo do Raciocínio
- Identificamos quais caixas cabem (1, 3, 4, 5).
- Calculamos o volume de cada.
- Caixa 3 apresentou o menor volume, então menor espaço livre.
- 📌 Reafirmação da Alternativa Correta
A caixa escolhida é a de número 3 → Alternativa C. - 🔍 Resumo Final
Entre as caixas onde o cubo de 80 pode entrar, a de volume menor é a caixa 3 (85 × 82 × 90), resultando na menor sobra de espaço.
