Questão 142, caderno azul do ENEM 2021 – DIA 2

O organizador de uma competição de lançamento de dados pretende tornar o campeonato mais competitivo.

Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

A) 2

B) 4

C) 6

D) 9

E) 10

✍ “Resolução Em Texto”

Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Probabilidade: Eventos Independentes e Probabilidade Complementar).
Matemática Básica (Inequações e Potenciação).

Tema/Objetivo Geral:
Determinar o número mínimo de tentativas (lançamentos) necessárias para que a chance de sucesso (acertar pelo menos uma vez) atinja um patamar desejado (90% ou 0,9), utilizando o conceito do “evento complementar” (calcular a chance de errar tudo e subtrair do total).

Nível da Questão
Médio.
O conceito é simples, mas exige a sacada de não calcular a chance de acertar 1, 2, 3… e sim calcular a chance de errar tudo. Quem tenta fazer pelo caminho direto (“pelo menos um”) perde muito tempo e pode errar a conta.

Gabarito
Letra B.
A alternativa está correta pois, com 4 dardos, a chance de errar todos é de apenas 6,25% (1/16). Logo, a chance de acertar pelo menos um é de 93,75%, o que supera a meta de 90% (9/10) estabelecida pelo organizador.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
O organizador quer aumentar a emoção.

Regra: Você ganha se acertar pelo menos um dardo.
Chance de Acerto: 50% (ou 1/2) por dardo.
Meta: Ele quer que a chance de ganhar seja maior ou igual a 90% (9/10).
Pergunta: Quantos dardos (n) o jogador precisa ter na mão para garantir essa chance?

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem uma prova de múltipla escolha onde você chuta tudo.
Se você chutar apenas 1 questão, a chance de zerar a prova é alta.
Se você puder chutar 10 questões, a chance de zerar todas é muito baixa. Quase certeza que você acerta pelo menos uma.
A questão quer saber: quantas questões você precisa chutar para ter 90% de certeza de que não vai zerar?
O verdadeiro desafio aqui é usar a lógica do “inverso”: é mais fácil calcular a chance de perder tudo do que a chance de ganhar alguma coisa.

Plano de Ataque:

Usar a Probabilidade Complementar: Chance de Ganhar = 100% – Chance de Perder TUDO.
Calcular o Fracasso: A chance de errar um dardo é 1/2. A chance de errar n dardos é (1/2) elevado a n.
Montar a Inequação: 1 – (Chance de errar tudo) >= 9/10.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos abrir a maleta da Probabilidade.

Ferramenta 1: Evento Complementar
Quando a questão diz “pelo menos um”, o seu cérebro de detetive deve gritar: CALCULE O NENHUM!

P(pelo menos um acerto) = 1 – P(nenhum acerto).

Ferramenta 2: Eventos Independentes
Um lançamento não afeta o outro.

Se a chance de errar um é 1/2…
A chance de errar dois é 1/2 x 1/2 = 1/4.
A chance de errar n dardos é (1/2)^n.

Ferramenta 3: A Meta
Queremos que P(ganhar) >= 9/10.
Isso é o mesmo que dizer que P(perder tudo) <= 1/10.
(Se eu quero ter mais de 90% de chance de ganhar, tenho que ter menos de 10% de chance de perder).

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos testar os números de dardos (n) até acharmos a resposta.
Lembre-se: A chance de errar tudo tem que ser menor ou igual a 1/10 (ou 0,1).

Chance de errar 1 dardo: 1/2 = 0,5 (50%). Ainda é muito alto.
Chance de errar 2 dardos: 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0,25 (25%). Ainda é maior que 10%.
Chance de errar 3 dardos: 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 = 0,125 (12,5%). Quase lá! Mas 12,5% ainda é maior que 10%.
Chance de errar 4 dardos: 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16.

Vamos analisar o 1/16:
1 dividido por 16 = 0,0625 (ou 6,25%).

6,25% é menor que 10%? SIM!

Prova Real:
Se a chance de errar tudo é 6,25%, a chance de acertar pelo menos um é:
100% – 6,25% = 93,75%.
Isso é maior que os 90% pedidos? Sim.
Logo, o número mínimo é 4 dardos.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com o número 3!
Muitos alunos calculam até o 3 (que dá 12,5% de erro / 87,5% de acerto) e arredondam na cabeça: “Ah, 87,5% é quase 90%, deve ser isso”.
A matemática é exata. O enunciado pede “igual ou superior a 9/10”. 0,875 é menor que 0,9. O número 3 não serve. Você precisa dar mais um passo.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Procuramos a primeira potência de 2 que seja maior que 10 no denominador. (1/2, 1/4, 1/8, 1/16).
Expectativa: O número 4.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 2

Diagnóstico do Erro: Cálculo insuficiente.
Análise: Com 2 dardos, a chance de ganhar é 1−(1/4)=3/4=0,751−(1/4)=3/4=0,75 (75%). Ainda está longe da meta de 90%.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

B) 4

Análise de Correspondência: Perfeita.
Análise:
- Probabilidade de errar tudo: (1/2)4=1/16=0,0625(1/2)4=1/16=0,0625.
- Probabilidade de ganhar: 1−0,0625=0,93751−0,0625=0,9375.
- 0,93750,9375 é maior que 0,900,90 (9/10). É o valor mínimo necessário.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.

C) 6

Diagnóstico do Erro: Excesso (Não é o mínimo).
Análise: Com 6 dardos, a chance de ganhar é altíssima (quase 98%). Atende à condição de ser maior que 90%, mas a questão pede a quantidade mínima. Se 4 já serve, 6 é desperdício.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

D) 9

Diagnóstico do Erro: Confusão com o numerador.
Análise: O aluno pode ter visto o número “9” na fração “9/10” e marcado direto por associação visual, sem fazer conta.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

E) 10

Diagnóstico do Erro: Confusão com o denominador.
Análise: O aluno pode ter visto o “10” da fração “9/10” e marcado. Além disso, 10 dardos também atende à condição (quase 99,9%), mas não é o mínimo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
Para garantir uma vitória quase certa (90%), precisamos reduzir a chance de derrota total para menos de 10%; ao calcular as potências de 1/2, descobrimos que são necessários 4 lançamentos para que a probabilidade de erro caia para 1/16 (6,25%), superando a meta.

Resumo-flash (A Imagem Mental):
Para ter 90% de Sim, preciso ter menos de 10% de Não.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Segurança de Aviões e Servidores (Redundância).
Por que aviões têm 2, 3 ou 4 motores? Se um motor tem 50% de chance de falhar (exagero), o avião cai. Se tiver 4 motores independentes, a chance de todos falharem ao mesmo tempo cai para 6%. É a mesma matemática dos dardos aplicada para salvar vidas: aumentar o número de tentativas/sistemas para reduzir a chance de falha total a quase zero.

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