Um foguete foi lançado do marco zero de uma estação e após alguns segundos atingiu a posição (6, 6, 7) no espaço, conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em quilômetros.
Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km para frente na direção do eixo-x, 3 km para trás na direção do eixo-y, e 11 km para frente, na direção do eixo-z, então o foguete atingiu a posição:
A) (17, 3, 9).
B) (8, 3, 18).
C) (6, 18, 3).
D) (4, 9, – 4).
E) (3, 8, 18).
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Analítica (Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espaço 3D)
- Aritmética (Adição e Subtração de Números Inteiros)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular a nova posição de um ponto no espaço tridimensional após a aplicação de deslocamentos específicos em cada um dos eixos coordenados.
📊 Nível da Questão: Fácil.
Por quê? A questão envolve a aplicação direta de operações de soma e subtração nas coordenadas de um ponto. Não há conceitos complexos ou fórmulas elaboradas; trata-se de um exercício de interpretação de direções (“para frente”, “para trás”) e aritmética básica.
✅ Gabarito: Alternativa B.
Resumo: O foguete parte da posição (6, 6, 7). Para encontrar a nova posição, aplicamos os deslocamentos a cada coordenada correspondente:
- Eixo x: 6 + 2 = 8
- Eixo y: 6 – 3 = 3
- Eixo z: 7 + 11 = 18
A nova posição é, portanto, (8, 3, 18).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“…o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km para frente na direção do eixo-x, 3 km para trás na direção do eixo-y, e 11 km para frente, na direção do eixo-z, então o foguete atingiu a posição…”
O que está sendo pedido?
A questão nos dá uma posição inicial do foguete e uma série de movimentos que ele realizou. Pede-se para calcularmos a posição final do foguete após esses movimentos.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é atualizar cada uma das três coordenadas (x, y, z) do ponto inicial, somando ou subtraindo os deslocamentos descritos para cada eixo.
🧠 Em um sistema de coordenadas, o que significa “para frente” e “para trás” em termos de operações matemáticas? “Para frente” corresponde a somar, e “para trás” corresponde a subtrair.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Sistema de Coordenadas Cartesianas 3D:
- O que é: Um sistema usado para localizar pontos no espaço, utilizando três eixos perpendiculares entre si: eixo-x, eixo-y e eixo-z.
- Ponto no Espaço: A localização de um ponto é dada por um trio ordenado de números (x, y, z), onde cada número representa a posição do ponto ao longo de cada eixo.
- Deslocamento nos Eixos:
- Mover-se “para frente” na direção de um eixo significa mover-se no sentido positivo do eixo. Matematicamente, isso corresponde a somar o valor do deslocamento à coordenada correspondente.
- Mover-se “para trás” na direção de um eixo significa mover-se no sentido negativo do eixo. Matematicamente, isso corresponde a subtrair o valor do deslocamento da coordenada correspondente.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que o foguete está em um “endereço” no espaço, que é (6, 6, 7). Pense nisso como “casa 6 na rua x, casa 6 na rua y, e 7º andar no prédio z”. A missão do foguete é se mudar para um novo endereço, seguindo estas instruções:
- Ande 2 casas “para frente” na rua x.
- Ande 3 casas “para trás” na rua y.
- Suba 11 andares “para frente” no prédio z.
Nossa tarefa é simplesmente calcular qual é o novo endereço (x, y, z) do foguete.
Estratéia Geral 🗺️
- Escrever a posição inicial.
- Analisar o deslocamento em cada eixo separadamente.
- Realizar as operações de soma e subtração correspondentes para cada coordenada.
- Montar o novo ponto com as coordenadas finais.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Posição Inicial:
O foguete está na posição P_inicial = (6, 6, 7).
Isso significa: x₀ = 6, y₀ = 6, z₀ = 7.
2. Calcular a Nova Coordenada x:
- Deslocamento no eixo-x: “2 km para frente”.
- Operação: Somar 2 à coordenada x inicial.
- x_final = x₀ + 2 = 6 + 2 = 8
3. Calcular a Nova Coordenada y:
- Deslocamento no eixo-y: “3 km para trás”.
- Operação: Subtrair 3 da coordenada y inicial.
- y_final = y₀ – 3 = 6 – 3 = 3
4. Calcular a Nova Coordenada z:
- Deslocamento no eixo-z: “11 km para frente”.
- Operação: Somar 11 à coordenada z inicial.
- z_final = z₀ + 11 = 7 + 11 = 18
5. Montar a Posição Final:
A nova posição do foguete é P_final = (x_final, y_final, z_final) = (8, 3, 18).
A Armadilha Comum 🚨
A única armadilha possível seria um erro de aritmética simples ou a troca das coordenadas. Por exemplo, aplicar o deslocamento de x em y, ou vice-versa. É fundamental manter a ordem (x, y, z) e aplicar cada deslocamento à sua coordenada correspondente.
O cálculo nos levou à posição final (8, 3, 18). Agora vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) (17, 3, 9).
Incorreta.
🟢 B) (8, 3, 18).
Correta. Corresponde exatamente ao resultado do nosso cálculo.
🔴 C) (6, 18, 3).
Incorreta. Parece que as coordenadas foram trocadas.
🔴 D) (4, 9, – 4).
Incorreta.
🔴 E) (3, 8, 18).
Incorreta. Parece que as coordenadas x e y foram trocadas.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema pedia para determinar a posição final de um foguete a partir de sua posição inicial e de uma série de deslocamentos. Partindo do ponto (6, 6, 7), aplicamos as operações correspondentes a cada eixo: somamos 2 à coordenada x (6 + 2 = 8), subtraímos 3 da coordenada y (6 – 3 = 3) e somamos 11 à coordenada z (7 + 11 = 18). A combinação das novas coordenadas resulta na posição final (8, 3, 18).
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão
Lembre-se: em problemas de deslocamento em coordenadas, trate cada eixo de forma independente. O que acontece em ‘x’ não afeta ‘y’ nem ‘z’. Apenas realize as somas e subtrações em cada “gaveta” separadamente.
