Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino.
Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente:
A) 12 dias.
B) 13 dias.
C) 14 dias.
D) 15 dias.
E) 16 dias.
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Álgebra (Progressão Aritmética – P.A.)
- Grandezas e Medidas (Conversão de Unidades: km e m)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Utilizar o conceito de Progressão Aritmética para determinar o número de termos (dias) em uma sequência, dado o termo inicial, a razão e o termo final.
📊 Nível da Questão: Fácil.
Por quê? A questão descreve um cenário clássico de Progressão Aritmética (um valor inicial que aumenta em uma quantidade fixa a cada passo). A resolução envolve a identificação dos elementos da P.A. e a aplicação direta da fórmula do termo geral. A única etapa intermediária é uma simples conversão de unidades.
✅ Gabarito: Alternativa D.
Resumo: O plano de treino é uma P.A. com primeiro termo (a₁) igual a 3 km, razão (r) igual a 0,5 km e o último termo (aₙ) igual a 10 km. Usando a fórmula do termo geral aₙ = a₁ + (n-1)r, substituímos os valores e resolvemos a equação para encontrar ‘n’ (o número de dias), que resulta em 15.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente,”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos por quantos dias o corredor poderá seguir o plano de treinamento, que começa com 3 km, aumenta 500 metros por dia, até atingir o limite de 10 km.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é encontrar o número de termos (dias) de uma sequência que começa em 3 km, termina em 10 km e aumenta 500 metros a cada termo.
🧠 As distâncias estão em unidades diferentes (quilômetros e metros). Qual é o primeiro passo absolutamente essencial antes de começar qualquer cálculo?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Progressão Aritmética (P.A.):
- O que é: É uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão (r).
- Exemplo: A sequência (2, 5, 8, 11, …) é uma P.A. onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3.
- Fórmula do Termo Geral da P.A.:
Esta fórmula nos permite encontrar qualquer termo da sequência, ou, como no nosso caso, encontrar o número de termos.
aₙ = a₁ + (n – 1) ⋅ r- aₙ: O último termo da sequência (o valor final).
- a₁: O primeiro termo da sequência (o valor inicial).
- n: O número de termos (a posição do último termo, que queremos descobrir).
- r: A razão (o valor constante que é somado a cada passo).
- Conversão de Unidades:
- 1 quilômetro (km) = 1.000 metros (m).
- Portanto, 500 metros = 0,5 quilômetros.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Um corredor montou um desafio:
- Dia 1: Correr 3 km.
- Dia 2: Correr 3,5 km.
- Dia 3: Correr 4 km.
… e assim por diante, aumentando meio quilômetro por dia.
O médico, porém, colocou um limite: “Você pode seguir esse plano até o dia em que sua corrida atingir 10 km. Nesse dia, você para de aumentar”. A pergunta é: em que dia ele vai atingir a marca dos 10 km?
Estratéia Geral 🗺️
- Identificar que o problema é uma Progressão Aritmética.
- Padronizar todas as unidades (vamos usar quilômetros).
- Identificar os valores de a₁, aₙ e r.
- Substituir esses valores na fórmula do termo geral da P.A. e resolver a equação para encontrar ‘n’.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Padronizar as Unidades:
- Distância inicial = 3 km
- Aumento diário = 500 metros = 0,5 km
- Distância máxima = 10 km
2. Identificar os Elementos da P.A.:
- O primeiro termo (distância no 1º dia) é a₁ = 3.
- O aumento constante é a razão: r = 0,5.
- O último termo (distância no último dia) é aₙ = 10.
- O número de dias de treino, que queremos descobrir, é n.
3. Aplicar a Fórmula do Termo Geral:
- aₙ = a₁ + (n – 1) ⋅ r
- Substituindo os valores que conhecemos:
10 = 3 + (n – 1) ⋅ 0,5
4. Resolver a Equação para ‘n’:
- Primeiro, passamos o 3 para o outro lado, subtraindo:
10 – 3 = (n – 1) ⋅ 0,5
7 = (n – 1) ⋅ 0,5 - Agora, passamos o 0,5, que está multiplicando, para o outro lado, dividindo:
7 / 0,5 = n – 1 - Lembrando que dividir por 0,5 é o mesmo que multiplicar por 2:
14 = n – 1 - Finalmente, passamos o -1 para o outro lado, somando:
14 + 1 = n
n = 15
Conclusão: O planejamento de treino poderá ser executado por exatamente 15 dias.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha seria esquecer de converter os 500 metros para 0,5 km, o que levaria a um erro de cálculo. Outro erro comum é na resolução da equação, especialmente na hora de dividir por 0,5.
O cálculo resultou em n = 15. Agora, vamos conferir as alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 12 dias.
Incorreta.
🔴 B) 13 dias.
Incorreta.
🔴 C) 14 dias.
Incorreta. Note que 14 é o resultado de (n-1), uma etapa intermediária do cálculo.
🟢 D) 15 dias.
Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo.
🔴 E) 16 dias.
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O plano de treinamento diário do corredor forma uma Progressão Aritmética (P.A.), em que a distância percorrida aumenta em um valor fixo a cada dia. Para resolver o problema, primeiro padronizamos as unidades para quilômetros. Em seguida, identificamos os elementos da P.A.: o primeiro termo a₁ = 3 km, a razão r = 0,5 km, e o último termo aₙ = 10 km. Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., aₙ = a₁ + (n – 1)r, substituímos os valores e resolvemos a equação para n, que representa o número de dias. O cálculo resultou em n = 15 dias.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão
Sempre que um problema descrever uma situação com um valor inicial e um aumento/diminuição constante, desconfie de uma Progressão Aritmética. Identifique os elementos, aplique a fórmula do termo geral e resolva a equação.
