Questão 141, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Em um jogo on-line, cada jogador procura subir de nível e aumentar sua experiência, que são dois parâmetros importantes no jogo, dos quais dependem as forças de defesa e de ataque do participante. A força de defesa de cada jogador é diretamente proporcional ao seu nível e ao quadrado de sua experiência, enquanto sua força de ataque é diretamente proporcional à sua experiência e ao quadrado do seu nível. Nenhum jogador sabe o nível ou a experiência dos demais. Os jogadores iniciam o jogo no nível 1 com experiência 1 e possuem força de ataque 2 e de defesa 1. Nesse jogo, cada participante se movimenta em uma cidade em busca de tesouros para aumentar sua experiência. Quando dois deles se encontram, um deles pode desafiar o outro para um confronto, sendo o desafiante considerado o atacante. Compara-se então a força de ataque do desafiante com a força de defesa do desafiado e vence o confronto ao confronto aquele cuja força for maior. O vencedor do desafio aumenta seu nível em uma unidade. Caso haja empate no confronto, ambos os jogadores aumentam seus níveis em uma unidade.

Durante um jogo, o jogador J₁ de nível 4 e experiência 5, irá atacar o jogador J₂, de nível 2 e experiência 6.

O jogador J₁, venceu esse confronto porque a diferença entre sua força de ataque e a força de defesa de seu oponente era

A) 112.

B) 88.

C) 60.

D) 28.

E) 24.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Matemática: Razão e Proporção (Grandezas diretamente proporcionais).
Álgebra: Modelagem e resolução de equações simples.

Tema/Objetivo Geral:

Modelagem matemática de regras de um jogo fictício, envolvendo a descoberta de constantes de proporcionalidade e o cálculo de valores numéricos baseados em fórmulas algébricas.

Nível da Questão: Médio.

A questão não é difícil em termos de cálculo (multiplicação e subtração simples), mas exige atenção na etapa de modelagem. O aluno precisa lembrar que “ser proporcional a” implica a existência de uma constante k que deve ser descoberta usando os dados iniciais. Quem esquece a constante e usa apenas as variáveis erra o resultado.

Gabarito: B.

A força de ataque de J1 (N=4,E=5) é 160160. A força de defesa de J2 (N=2,E=6) é 7272. A diferença é 160−72=88.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão descreve as regras matemáticas de um RPG (Role-Playing Game). Temos fórmulas para “Força de Ataque” e “Força de Defesa”, mas elas estão incompletas (faltam as constantes). O objetivo é usar os dados do “Nível 1” para descobrir essas fórmulas completas e, depois, aplicá-las para calcular o resultado de uma batalha específica: Ataque de J1 menos Defesa de J2.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma receita de bolo.

A receita diz: “A doçura é proporcional ao açúcar”. Isso significa que Doçura = k . Açúcar
O texto nos dá o “Bolo Padrão” (Nível 1) para descobrirmos esse fator multiplicador (k).
Depois de descobrir a receita completa, vamos assar dois bolos diferentes (J1 e J2) e comparar o sabor.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

Traduzir o texto em fórmulas matemáticas gerais (com constantes k1 e k2).
Usar os dados do “Início do Jogo” para descobrir o valor dessas constantes.
Calcular o Ataque do Jogador 1.
Calcular a Defesa do Jogador 2.
Fazer a subtração final.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos montar as equações baseadas no texto:

Dossiê Técnico: As Regras do Jogo

Atributo	Regra do Texto	Fórmula Matemática
Defesa (`D`)	“Proporcional ao nível (`N`) e ao quadrado da experiência (`E2`)”	`D=kd⋅N⋅E2`
Ataque (`A`)	“Proporcional à experiência (`E`) e ao quadrado do nível (`N2`)”	`A=ka⋅E⋅N2`

Os Dados Iniciais (A Chave Mestra):
No início: N=1,E=1.

Defesa Inicial = 1.
Ataque Inicial = 2.

Vamos usar isso para achar kd e ka no próximo passo.

Imagine mentalmente um cartão de RPG.
Lado Esquerdo (Nível 1): Ataque = 2, Defesa = 1.
Lado Direito (Fórmulas): Ataque = ? · E · N², Defesa = ? · N · E².
O desafio é preencher as interrogações.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Etapa 1: Calibrando as Fórmulas (Achando as Constantes)

Para a Defesa:
D=kd⋅N⋅E2
1=kd⋅1⋅12
1=kd⋅1
kd=1 (A constante de defesa é 1).
- Fórmula Final: D=N⋅E2
Para o Ataque:
A=ka⋅E⋅N2
2=ka⋅1⋅12
2=ka⋅1
ka=2 (A constante de ataque é 2).
- Fórmula Final: A=2⋅E⋅N2

Etapa 2: A Batalha (J1 vs J2)

Atacante: Jogador J1 (N=4,E=5)
Queremos a Força de Ataque (AJ1).
AJ1=2⋅E⋅N2
AJ1=2⋅5⋅(42)
AJ1=10⋅16
AJ1=160
Defensor: Jogador J2 (N=2,E=6)
Queremos a Força de Defesa (DJ2).
DJ2=1⋅N⋅E2
DJ2=2⋅(62)
DJ2=2⋅36
DJ2=72

Etapa 3: O Resultado Final
A questão pede a diferença entre o Ataque de J1 e a Defesa de J2.

Diferença=160−72=88

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é ignorar as constantes de proporcionalidade (k).
Muitos alunos leem “proporcional a E⋅N” e escrevem direto A=E⋅N2.
Se fizéssemos isso:

AJ1(errado)=5⋅42=80.
DJ2(certo,poisk=1)=72.
Diferença errada = 80−72=8. (Felizmente não tem nas alternativas, mas em outras questões poderia ter!).
Regra de Ouro: Sempre que ler “proporcional”, coloque um k multiplicando!

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Descobrimos que a fórmula de Ataque dobra o produto das variáveis (2⋅E⋅N2), enquanto a de Defesa é direta (1⋅N⋅E2). Calculamos 160 e 72. A subtração dá 88.
Expectativa: O número 88.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 112.
- O Diagnóstico do Erro: Troca de Fórmulas.
- Cenário: O aluno pode ter calculado a Defesa do J1 (4⋅52=100) e o Ataque do J2 (2⋅6⋅22=48). Diferença: 100−48=52. Não bate.
- Outra possibilidade: Erro de cálculo aritmético na subtração ou multiplicação.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 88.
- Análise de Correspondência: Cálculo perfeito. Considerou a constante k=2 para o ataque e k=1 para a defesa, elevou os termos certos ao quadrado e subtraiu corretamente.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 60.
- O Diagnóstico do Erro: Confusão de Quadrados.
- Cenário: Talvez o aluno tenha esquecido de elevar ao quadrado na fórmula do Ataque.
- A=2⋅5⋅4=40 (Errado). D=2⋅36=72.
- Ou talvez tenha calculado A=160 e D=100 (usando N2⋅E para defesa também). 160−100=60.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 28.
- O Diagnóstico do Erro: Esquecimento da Constante de Ataque.
- Cenário: O aluno calculou o ataque sem o fator 2.
- Aerrado=5⋅42=80.
- Dcerto=2⋅62=72.
- Diferença: 80−72=8. (Ainda não bate com 28, mas mostra como esquecer a constante diminui drasticamente o valor).
- Outro erro possível: Calcular Defesa de J1 (4⋅25=100) – Defesa de J2 (72) = 28. (Comparou Defesa com Defesa).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 24.
- O Diagnóstico do Erro: Erro Aleatório.
- Não há uma combinação óbvia de erros comuns que leve a 24, provavelmente um distrator numérico simples.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
Em problemas de proporcionalidade, a constante k é o ingrediente secreto: sem ela, a receita da função fica incompleta. Ao calibrar as fórmulas com os dados iniciais, descobrimos que o ataque era duplamente potente, levando à vitória com margem de 88 pontos (Alternativa B).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
🎮 Ataque: Dobra o poder (2⋅E⋅N2).
🛡️ Defesa: Normal (1⋅N⋅E2).
⚔️ Resultado: 160−72=88.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com a Física (Energia Cinética):
A fórmula do ataque (A=k⋅E⋅N2) tem a mesma estrutura matemática da Energia Cinética (Ec=21⋅m⋅v2).
Nível (N) funciona como a Velocidade (v) e Experiência (E) como a Massa (m).
Isso nos ensina que, em funções quadráticas, aumentar o termo que está ao quadrado (Nível/Velocidade) gera um impacto muito maior no resultado final do que aumentar o termo linear. No jogo, subir de nível vale mais para o ataque do que ganhar experiência!