Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @ .
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.
Ele sabe que o e-mail [email protected] já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?
A) 59
B) 60
C) 118
D) 119
E) 120
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Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória
- Permutação Simples
Tema/Objetivo Geral: Cálculo de anagramas (arranjos de letras) com restrições de agrupamento e exclusão.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque exige duas etapas de raciocínio: primeiro, a aplicação do “princípio do bloco”, onde um grupo de letras é tratado como um único elemento; e segundo, a interpretação correta da condição de exclusão, que exige a subtração de um caso específico do total calculado. Esquecer qualquer uma das etapas leva a uma resposta errada.
Gabarito
Alternativa D). A resposta correta é 119, pois existem 120 maneiras de organizar as letras com o bloco “edu” fixo (5!), mas como o e-mail “eduardo” já está em uso, devemos subtrair essa única possibilidade.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?”, considerando que:
- As três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.
- O e-mail “[email protected]” já foi criado.
1.2 O que está sendo pedido?
O problema pede para encontrarmos o número total de anagramas que podemos formar com as letras do nome “Eduardo”, seguindo a regra de que “edu” é um bloco fixo e inseparável, e depois remover a opção que já está cadastrada.
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa missão é calcular o total de permutações possíveis tratando “edu” como um elemento único e, do resultado, subtrair 1 (correspondente ao e-mail já existente).
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a condição “exatamente nessa ordem” simplifica muito o problema? Se as letras ‘e’, ‘d’, ‘u’ pudessem trocar de lugar entre si, o cálculo seria outro e mais complexo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Anagrama: É qualquer reordenação das letras de uma palavra para formar outras palavras ou sequências, mesmo que não façam sentido. Por exemplo, os anagramas da palavra “SOL” são SOL, SLO, OSL, OLS, LSO e LOS.
- Permutação Simples (Pₙ): É o cálculo que nos diz de quantas maneiras podemos organizar ‘n’ objetos distintos. A fórmula é dada pelo fatorial desse número.
- Fórmula: Pₙ = n! (lê-se “n fatorial”)
- Fatorial (!): É a multiplicação de um número por todos os seus antecessores inteiros até o 1.
- Exemplo do cotidiano: De quantas maneiras 3 amigos podem se sentar em 3 cadeiras? P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 maneiras.
- Princípio do Bloco (ou Agrupamento): É uma técnica usada quando certos elementos de um conjunto devem permanecer juntos. Nós “colamos” esses elementos e os tratamos como se fossem um único objeto na hora de permutar.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você tem as letras do nome “Eduardo” em peças de um jogo: E, D, U, A, R, D, O. A primeira regra diz que as peças E, D, e U foram coladas juntas, formando um único bloco que vamos chamar de [EDU]. Agora, em vez de 7 peças soltas, você tem apenas 5 “peças” para embaralhar: o bloco [EDU], e as letras A, R, D, O.
Nossa tarefa é ver de quantas formas podemos organizar essas 5 peças e, no final, descartar a arrumação que forma a palavra “eduardo”.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Agrupar as letras “edu” em um único bloco.
- Contar quantos elementos temos para permutar (o bloco + as letras restantes).
- Calcular a permutação simples desses elementos.
- Subtrair 1 do resultado final para excluir o e-mail já existente.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Primeiro, vamos listar os elementos do nosso problema. O nome é “Eduardo”, cujas letras são E, D, U, A, R, D, O.
A regra diz que “edu” devem estar sempre juntas e nessa ordem. Então, criamos nosso bloco:
- Bloco: [EDU]
Agora, vemos quais letras sobraram. Se usamos um ‘E’, um ‘D’ e um ‘U’, sobram:
- Letras restantes: A, R, D, O
Nosso novo conjunto de elementos para permutar (embaralhar) tem 5 itens:
- [EDU], A, R, D, O
Como todos esses 5 itens são distintos entre si, calculamos a permutação simples de 5 elementos (P₅):
- P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Isso significa que existem 120 maneiras de arranjar as letras do nome “Eduardo” mantendo “edu” juntos no início. Uma dessas 120 maneiras é a combinação [EDU] + A + R + D + O, que forma “eduardo”.
O enunciado nos diz que o e-mail “[email protected]” já existe e não pode ser usado. Portanto, devemos remover essa única possibilidade do nosso total.
- Maneiras válidas = Total de maneiras – Maneiras já usadas
- Maneiras válidas = 120 – 1 = 119
4.2 Verificação Intermediária
Calculamos 120 arranjos totais, o que faz sentido para uma permutação de 5 elementos. A etapa final é apenas a subtração do caso proibido, que é uma condição explícita do problema.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais óbvia aqui é esquecer de subtrair 1 e marcar a alternativa E) 120. Isso te daria o número total de anagramas com a restrição do bloco, mas não o número de novos e-mails que Eduardo pode criar.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo resultou em 119 maneiras possíveis. Agora, vamos verificar se essa resposta corresponde a uma das alternativas fornecidas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 59
B) 60
C) 118
D) 119
E) 120
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 59: Incorreto. Provavelmente resultado de um erro de cálculo, como 60 – 1. O número 60 (P₅ / 2!) surgiria se houvesse letras repetidas fora do bloco, o que não é o caso.
- (🔴) B) 60: Incorreto. Não se aplica à lógica do problema.
- (🔴) C) 118: Incorreto. Seria a resposta se, por algum motivo, duas combinações precisassem ser excluídas.
- (🟢) D) 119: Correto. É o resultado exato do cálculo da permutação de 5 elementos (5! = 120) menos a única combinação que já está em uso.
- (🔴) E) 120: Incorreto. Esta é a “alternativa-armadilha”. Representa o número total de anagramas possíveis com a restrição, mas ignora a condição de que um deles já foi cadastrado.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada tratando o grupo de letras “edu” como um único bloco, calculando a permutação desse bloco com as letras restantes (A, R, D, O), o que totalizou 120 arranjos, e finalmente subtraindo a única permutação que correspondia ao e-mail já existente.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 119.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de anagramas com a condição de “letras sempre juntas”, use a técnica do bloco: transforme as letras que devem ficar juntas em um único elemento e depois faça a permutação normalmente.
