Uma grande rede de supermercados adota um sistema de avaliação dos faturamentos de suas filiais, considerando a média de faturamento mensal em milhão. A matriz da rede paga uma comissão para os representantes dos supermercados que atingirem uma média de faturamento mensal (M), conforme apresentado no quadro.
Um supermercado da rede obteve os faturamentos num dado ano, conforme apresentado no quadro.
Nas condições apresentadas, os representantes desse supermercado avaliam que receberão, no ano seguinte, a comissão de tipo
A) I.
B) II.
C) II.
D) IV.
E) V.
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Estatística: Média Aritmética Ponderada).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a média mensal de faturamento de uma empresa ao longo de um ano, considerando que o faturamento variou em diferentes meses (pesos), para classificar o resultado em uma tabela de faixas de comissão.
Nível da Questão
Médio.
A conta é simples, mas exige organização. O aluno precisa perceber que se trata de uma Média Ponderada (considerando a quantidade de meses) e não de uma média simples.
Gabarito
Letra B.
A alternativa está correta pois, ao somarmos todo o dinheiro que entrou no ano (45 milhões) e dividirmos pelos 12 meses, obtemos uma média mensal de 3,75 milhões. Esse valor se encaixa na faixa da Comissão II (entre 2 e 4).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A matriz do supermercado prometeu um bônus (comissão).
Para saber qual bônus você ganha, você precisa descobrir a Média Mensal (M) do ano todo.
A tabela de baixo diz quanto a loja ganhou e por quantos meses aquele valor se repetiu.
Sua missão: Calcular a média real do ano e ver em qual linha da tabela de cima ela se encaixa.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um Boletim Escolar.
- Você tirou nota 3,5 em 3 provas.
- Tirou nota 2,5 em 2 provas.
- E assim por diante…
Para saber sua média final, você não soma só as notas diferentes e divide pelo número de tipos de nota. Você tem que somar todas as notas de todas as provas e dividir pelo total de provas.
Aqui, as “provas” são os Meses. O total de meses é 12 (um ano).
O verdadeiro desafio aqui é não cair na tentação de dividir por 5 (número de linhas), mas sim dividir por 12 (número total de meses).
Plano de Ataque:
- Calcular o Faturamento Total: Multiplicar o valor de cada linha pela quantidade de meses.
- Somar Tudo: Descobrir quanto entrou no cofre no ano inteiro.
- Calcular a Média: Dividir o total por 12.
- Classificar: Encontrar a faixa na tabela de comissões.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Estatística.
A Ferramenta: Média Ponderada
Quando temos valores que se repetem, usamos pesos.
- Fórmula: M = (Valor1 x Peso1 + Valor2 x Peso2 …) / Soma dos Pesos.
- Neste caso:
- Valor = Faturamento.
- Peso = Quantidade de meses.
- Soma dos Pesos = 3 + 2 + 2 + 4 + 1 = 12 meses.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos fazer a contabilidade do ano:
1. Multiplicando Faturamento x Meses:
- 3,5 milhões x 3 meses = 10,5
- 2,5 milhões x 2 meses = 5,0
- 5,0 milhões x 2 meses = 10,0
- 3,0 milhões x 4 meses = 12,0
- 7,5 milhões x 1 mês = 7,5
2. Somando o Faturamento Anual:
Total = 10,5 + 5,0 + 10,0 + 12,0 + 7,5
Total = 45,0 milhões
3. Calculando a Média Mensal (M):
Média = Total Arrecadado / Total de Meses
Média = 45 / 12
Conta rápida:
45 dividido por 12.
12 x 3 = 36 (Sobra 9).
Baixa o zero, põe a vírgula (90).
12 x 7 = 84 (Sobra 6).
12 x 5 = 60.
Resultado: M = 3,75 milhões.
4. Enquadramento:
Olhe a tabela de comissões:
- Comissão I: 1 <= M < 2
- Comissão II: 2 <= M < 4
O valor 3,75 está entre 2 e 4? Sim.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a Média Simples!
Muitos alunos somam os valores da coluna da esquerda (3,5 + 2,5 + 5 + 3 + 7,5 = 21,5) e dividem por 5 (número de linhas da tabela).
- Resultado errado: 21,5 / 5 = 4,3.
- Isso levaria à Comissão III (Alternativa C).
Isso é um erro grave! O faturamento de 3 milhões aconteceu 4 vezes, ele tem mais “peso” na média do que o de 7,5 milhões que aconteceu só uma vez. Você é obrigado a ponderar!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Faturamento Total (45) dividido por 12 meses = 3,75.
- Expectativa: Faixa II.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) I.
- Diagnóstico do Erro: Erro grosseiro de cálculo.
- Análise: O aluno teria que achar um valor menor que 2. Improvável com os dados apresentados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) II.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise: O cálculo correto da média ponderada resulta em 3,75. Esse número obedece à inequação da Comissão II (
2≤3,75<42≤3,75<4). - Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) III.
- Diagnóstico do Erro: A Armadilha da Média Simples.
- Análise: Essa é a alternativa para quem somou os valores e dividiu por 5 (linhas), ignorando a quantidade de meses. O resultado seria 4,3, caindo na faixa III. É o distrator mais forte da questão.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) IV.
- Diagnóstico do Erro: Superestimação.
- Análise: O aluno pode ter errado a soma ou considerado apenas os maiores valores, achando uma média acima de 5.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) V.
- Diagnóstico do Erro: Foco no Pico.
- Análise: O aluno pode ter olhado o maior faturamento (7,5) e achado que a comissão seria baseada no “melhor mês”, e não na média anual.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para ser justo na bonificação, o sistema utiliza a Média Ponderada, garantindo que os meses de faturamento repetido tenham o peso proporcional correto no cálculo final, resultando em uma média de 3,75 milhões (Comissão II).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Não divida por linhas, divida por meses! (Total / 12).
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com a Sua Nota do ENEM.
A nota final do ENEM (para entrar no SISU) também é uma Média Ponderada. Cada curso (Engenharia, Medicina, Direito) dá pesos diferentes para as áreas (Matemática, Redação, Humanas). Tirar 800 em Matemática vale muito para Engenharia (peso alto), mas vale menos para Letras. Entender média ponderada é entender sua chance de entrar na faculdade!
