Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para servir quatro taças de espumante que precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças são círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente.
A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, igual a
A) 192.
B) 300.
C) 304.
D) 320.
E) 400.
Resolução em texto
Informações Iniciais
● Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria plana (medidas de diâmetros, somas de comprimentos)
● Nível da Questão: Fácil/Médio
● Gabarito: 304 cm² (Alternativa C)
● Tema/Objetivo Geral (Opcional): Determinar as dimensões mínimas de uma bandeja para acomodar quatro taças enfileiradas, considerando que a base tem raio 4 cm e a borda superior, raio 5 cm.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
- 📌 Retomar o Comando da Questão
“Quatro taças, cada uma com base de raio 4 cm e borda de raio 5 cm, devem ficar enfileiradas em cima de uma bandeja. Precisamos encontrar a menor área retangular para acomodá-las.” - 📌 Explicação Detalhada
As taças devem ser dispostas em linha, de modo que a base (raio 4 cm) esteja inteiramente apoiada na bandeja e que as bordas (raio 5 cm) não ultrapassem o retângulo da bandeja. Precisamos, portanto, calcular o comprimento mínimo para acomodar as quatro taças e a largura mínima para a base delas. - 📌 Identificação de Palavras-chave
- “Raio da base” = 4 cm
- “Raio da borda” = 5 cm
- “Quatro taças”
- “Em linha única”
- “Menor área retangular”
- 📌 Definição do Objetivo
Encontrar a menor área do retângulo (bandeja) para colocar quatro taças lado a lado sem que a borda ultrapasse o retângulo.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
- 📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Diâmetro: Se o raio é r, o diâmetro é 2r.
- Área de um Retângulo: base × altura.
- Arranjo Lateral de Círculos Diferentes: Quando dois círculos de mesmo raio ou de raios diferentes “tocam-se”, o espaço ocupado entre seus centros corresponde à soma dos respectivos raios.
- 📌 Fórmulas e Definições
- Diâmetro da base: 2 × 4 = 8.
- Diâmetro da borda: 2 × 5 = 10.
- Área retangular = comprimento × largura.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- 📌 Análise do Contexto
Precisamos acomodar quatro taças em fila. Cada taça tem borda maior que a base, então o “encontro” entre taças depende de suas bordas (raio 5 cm), mas nas extremidades, a parte que fica “livre” é só até a base (raio 4 cm), pois não há outra taça do outro lado. - 📌 Identificação de Frases-chave
- “Taças com raio de borda 5 cm.”
- “Taças com raio de base 4 cm.”
- “Em uma única fileira.”
- “Menor retângulo possível.”
- 📌 Tradução para Termos Matemáticos
Precisamos somar comprimentos parciais (9 + 10 + 10 + 9) para obter o comprimento total e usar 8 para a largura (já que o diâmetro da base é 8).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- 📌 Resolução Completa
- Largura:
- A base de cada taça deve caber na largura da bandeja.
- Diâmetro da base = 2 × 4 = 8.
- Largura da bandeja = 8.
- Comprimento:
- Quando duas taças estão “juntas”, elas se encostam “bordas com bordas”, ou seja, cada taça “usa” 5 cm para o contato. Mas nas extremidades (taça 1 e taça 4), o “lado de fora” só precisa acomodar 4 cm, pois ali não há outra taça para tocar.
- Então, cada taça no meio encontra a vizinha com 5 cm, mas a parte final da taça 1 e da taça 4 usa 4 cm (raio da base).
- Portanto, o comprimento se soma assim:
- Taça 1 (lado esquerdo) = 4 cm (lado sem vizinha) + 5 cm (lado que encosta a próxima taça) = 9.
- Entre a taça 2 e 3 (ambas encostam pelos raios 5 cm cada) = 10.
- Entre a taça 3 e 4 (mesmo raciocínio) = 10.
- Taça 4 (lado direito) = 5 cm (lado que encosta a taça 3) + 4 cm (lado sem vizinha) = 9.
- Soma total = 9 + 10 + 10 + 9 = 38.
- Área do Retângulo:
- Largura = 8.
- Comprimento = 38.
- Área = 8 × 38 = 304.
- Largura:
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- 📌 Reescrita das Alternativas
A) 192
B) 300
C) 304
D) 320
E) 400 - ✅ Justificativa da Alternativa Correta
O valor encontrado para a área é 304, que corresponde à alternativa C. - ❌ Análise das Alternativas Incorretas
- A) 192, B) 300, D) 320, E) 400 não batem com o cálculo exato do arranjo das taças.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
- 📌 Resumo do Raciocínio
- Largura (8) obtida do diâmetro da base.
- Comprimento (38) calculado com 9 cm para as taças das extremidades e 10 cm para cada par de taças centrais.
- Área final = 8 × 38 = 304.
- 📌 Reafirmação da Alternativa Correta
A área mínima é 304 cm² → Alternativa C. - 🔍 Resumo Final
O garçom precisa de uma bandeja retangular com largura 8 e comprimento 38, totalizando 304 cm², para acomodar as quatro taças de modo que as bases fiquem inteiramente apoiadas.
