Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.
Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.
As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre
as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.
O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é
A) 11 520.
B) 14 400.
C) 18 000.
D) 312 000.
E) 390 000.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (análise combinatória e permutações).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra B.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão:
Calcular o número total de senhas possíveis, obedecendo às regras de combinação entre números e letras.
Palavras-chave:
- “5 caracteres”
- “2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes”
- “Teclas disponíveis: 1, 2, 5, 7 e 0”
Objetivo:
Determinar a quantidade de senhas possíveis de forma direta e clara.
Dica Geral:
⚠️ Use o princípio fundamental da contagem! Multiplique as possibilidades de escolha para cada espaço da senha, considerando as restrições.
2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto
A senha tem 5 caracteres, sendo:
- 2 primeiros caracteres: Algarismos distintos (teclas disponíveis: 1,2,5,7,0 totalizando 5 opções).
- 3 últimos caracteres: Letras diferentes (letras associadas às teclas 2,5,7 totalizando 10 opções).
Cada espaço da senha corresponde a uma decisão. O número total de senhas será a multiplicação das possibilidades de cada espaço.
3º Passo: Aplicação do Princípio Fundamental da Contagem
- Primeiros dois espaços (algarismos distintos):
- Primeiro espaço: 5 opções (1,2,5,7,0).Segundo espaço: 4 opções (não pode repetir o número escolhido no primeiro espaço).
- Últimos três espaços (letras diferentes):
- Primeiro espaço para letras: 10 opções.Segundo espaço para letras: 9 opções (não pode repetir a letra escolhida antes).Terceiro espaço para letras: 8 opções (não pode repetir nenhuma das letras já escolhidas).
- Multiplicação total:
4º Passo: Análise da Simplicidade
Princípio aplicado:
- Cada espaço da senha representa uma decisão, e as opções diminuem conforme restrições (sem repetição).
- O total de senhas possíveis é simplesmente o produto das possibilidades de cada espaço.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão:
A alternativa correta é B) 14 400, pois esta é a quantidade total de senhas possíveis.
Resumo Final:
O cálculo de senhas foi realizado com o princípio fundamental da contagem, multiplicando as possibilidades de cada espaço:
