Questão 138, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar
uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher,
o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso,
uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%.
Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar
a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

a) 20

b) 60

c) 64

d) 68

e) 80

Resolução em Vídeo

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática (Probabilidade de Eventos Independentes).
Álgebra (Equações e Inequações de 1º Grau).

Tema/Objetivo Geral:
Calcular a quantidade de elementos a serem adicionados a um espaço amostral para alterar a probabilidade final de um evento composto (intersecção de dois eventos independentes).

Nível da Questão:
Difícil.
Justificativa: O aluno precisa dominar vários conceitos em sequência: probabilidade de eventos simultâneos (“E”), regra de três para descobrir a composição inicial da urna e montagem de equação para descobrir o novo total. Um erro em qualquer etapa compromete o resultado.

Gabarito:
Letra C – 64.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
O gerente quer que a chance de um cliente ganhar o voucher seja menor ou igual a 1%.
Para ganhar, o cliente tem que tirar Preta na A E Preta na B.
A Urna A é fixa. A Urna B vai ser modificada (adicionando brancas).
A pergunta é: Quantas bolinhas brancas a mais precisamos colocar na Urna B?

A Analogia Central (O Coquetel):
Imagine que a “Sorte” é um drink feito misturando dois sucos.

Suco A: Tem 20% de concentração.
Suco B: Tem 25% de concentração.
O drink final ficou forte demais (5%). O gerente quer que o drink final tenha apenas 1% de força. Ele não pode mexer no Suco A. Então, ele vai jogar água (bolinhas brancas) no Suco B até ele ficar fraco o suficiente para, quando misturado, dar 1%.

Nosso Plano de Ataque:

Calcular a probabilidade atual de ganhar.
Calcular qual deve ser a nova probabilidade da Urna B para atingir a meta de 1% total.
Descobrir quantas bolinhas a Urna B já tem.
Calcular quantas bolinhas ela precisa ter no total e subtrair o que já tem.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos usar a Regra do “E” (Multiplicação):
Se eu preciso que aconteça A E B, eu multiplico as probabilidades.

P(Final)=P(A)⋅P(B)

Dados Iniciais:

P(A)=20%=0,2 (Imutável).
P(B)atual=25%=0,25
Bolinhas Pretas em B = 4.
Meta: P(Final)≤1%=0,01

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Etapa 1: Descobrindo a composição atual da Urna B
O texto diz que a chance de tirar preta na B é 25% e que existem 4 pretas.
25% é a mesma coisa que 1441.Se 1441 do total são 4 bolinhas, então o total é:4×4=16 bolinhas no total.4×4=16 bolinhas no total.

Conclusão da cena: A Urna B tem hoje 16 bolinhas (4 pretas e 12 brancas).

Etapa 2: Calculando a nova meta para a Urna B
Queremos que a probabilidade total seja 1% (0,01).

P(A)⋅P(B)nova≤0,01

0,2⋅P(B)nova≤0,01

P(B)nova≤0,01

P(B)nova≤0,05

Ou seja, a chance de tirar preta na Urna B tem que cair de 25% para 5%.

Etapa 3: Enchendo a Urna B
A quantidade de bolinhas pretas não mudou (continua sendo 4). O que muda é o total.
Queremos que essas 4 pretas representem agora apenas 5% do novo total.

PretasNovo Total=5%

4X=5/100

X= 80

Precisamos de 80 bolinhas no total na Urna B.

Etapa 4: O Saldo (A Resposta)
Nós já tínhamos 16 bolinhas na urna. Precisamos chegar a 80.
Quantas temos que adicionar?

Adicionar=80−16=64

O gerente deve despejar 64 bolinhas brancas lá dentro.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com o “Total Final” (Letra E)!
Muitos alunos chegam no número 80 (o novo total de bolinhas) e marcam a letra E, felizes da vida.
Pare! A pergunta é: “Qual o número de bolinhas que deve ADICIONAR?”.
Você já tinha 16. O novo total é 80. Você adicionou a diferença (64), não o total. Leia o comando final com lupa!

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio:
1. P(B)P(B) precisa ser 5%.
2. 4 pretas representam 5% de 80 bolinhas.
3. Já tínhamos 16. Faltam 64.
Expectativa: O número 64.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) 20

Diagnóstico do Erro: Chute ou cálculo de porcentagem errado.
Análise: Talvez o aluno tenha tentado usar o número 20% da Urna A como quantidade de bolinhas.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) 60

Diagnóstico do Erro: Arredondamento ou erro na subtração.
Análise: Resultado próximo, mas matematicamente incorreto para atingir exatamente os 5% necessários na urna B.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

c) 64

Análise: Perfeito. Ao adicionar 64 brancas às 12 brancas e 4 pretas já existentes, teremos 76 brancas e 4 pretas. Total = 80. Chance de tirar preta = 4/80=5%4/80=5%. Chance total do voucher = 20%×5%=1. Meta cumprida.
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

d) 68

Diagnóstico do Erro: Esqueceu as brancas antigas.
Análise: O aluno calculou que precisa de 80 bolinhas no total. Subtraiu apenas as 12 brancas originais (80−12=68), esquecendo de contar as 4 pretas que já ocupam espaço na urna.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) 80

Diagnóstico do Erro: Confundiu o Total com o Adicional.
Análise: O aluno calculou corretamente que a urna B precisa ter 80 bolinhas para que a chance seja 5%. Porém, esqueceu de descontar as 16 que já estavam lá. A pergunta é “quanto adicionar”, não “quanto ter no fim”.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Em probabilidade, para diminuir a chance de sucesso mantendo o número de vencedores (pretas) fixo, você precisa inflar o número de perdedores (brancas). É como diluir um remédio.

Resumo-flash: ⚡
“Para a chance cair de 25% para 5% (dividir por 5), o total de bolinhas tem que multiplicar por 5 (16 x 5 = 80). Faltam 64.”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse tipo de cálculo é fundamental em Seguros e Loterias. As empresas calculam exatamente quantas combinações perdedoras precisam existir para que o prêmio seja pago apenas numa frequência que garanta o lucro da banca. O gerente da loja agiu como um “dono de cassino”, ajustando a mesa para a casa ganhar mais.