Questão 138, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar
uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher,
o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso,
uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%.
Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar
a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

a) 20

b) 60

c) 64

d) 68

e) 80

Resolução em Vídeo

Resolução em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática: Probabilidade, Frações e Porcentagens.

Nível da Questão: Difícil

Gabarito: C

1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Comando da Questão: “Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B para que a probabilidade de ganhar o voucher seja menor ou igual a 1%?”

Objetivo: Determinar quantas bolinhas brancas precisam ser adicionadas à urna B para reduzir a probabilidade de se retirar duas bolinhas pretas (uma de cada urna) para um valor menor ou igual a 1%.

2º Passo: Análise das Frases-Chave do Texto

Probabilidade de retirar uma bolinha preta na urna A: 20%.
Probabilidade de retirar uma bolinha preta na urna B: 25%.
O cliente ganha o voucher ao retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.
A urna B contém 4 bolinhas pretas e algumas bolinhas brancas.
Precisamos alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B para diminuir a probabilidade total.

Esses pontos indicam que precisaremos trabalhar com probabilidades e proporções.

3º Passo: Explicação dos Conceitos Importantes

Probabilidade: A probabilidade de um evento ocorrer é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis. A fórmula geral da probabilidade é:

Onde:

F = número de casos favoráveis.
T = número total de casos possíveis.

Multiplicação de Probabilidades: Quando temos eventos independentes (neste caso, retirar uma bolinha preta da urna A e outra da urna B), a probabilidade conjunta é obtida pela multiplicação das probabilidades individuais.
Proporção e Porcentagem: Precisamos ter um raciocínio proporcional claro. Sabemos que 4 bolinhas pretas representam 25% do total de bolinhas na urna B. Isso significa que os 75% restantes são de bolinhas brancas.
- Como 25% representam 4 bolinhas pretas, os 75% restantes são três vezes mais do que 25%, ou seja:

Assim, atualmente, a urna B possui:

4 bolinhas pretas.
12 bolinhas brancas.
Total de bolinhas na urna B: 4 + 12 = 16

4º Passo: Resolução da Questão

Passo 1: Probabilidade Atual

Vamos calcular a probabilidade de ganhar o voucher na situação atual.

Probabilidade na Urna A: A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna A é 20%, ou seja:

Probabilidade na Urna B: A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna B é 25%, ou seja:

Probabilidade Total de Retirar Duas Bolinhas Pretas (Voucher):

Atualmente, a probabilidade de um cliente ganhar o voucher é de 5%. O gerente deseja que essa probabilidade seja menor ou igual a 1%.

Passo 2: Encontrando a Nova Probabilidade da Urna B

Precisamos alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B para reduzir a probabilidade de ganhar o voucher para 1% ou menos. Como não podemos mexer na urna A, a probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna A continuará sendo 20%.

Queremos que:

Sabemos que:

Isolando P(B):

Assim, a probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna B precisa ser 5%.

Passo 3: Determinando o Número de Bolinhas na Urna B

Precisamos encontrar o número total de bolinhas na urna B que faça com que a probabilidade de retirar uma bolinha preta seja 5%.

Atualmente, há 4 bolinhas pretas na urna B, e queremos que:

Vamos chamar o total de bolinhas de T. Assim:

Multiplicando ambos os lados por T:

Precisamos ter um total de 80 bolinhas na urna B.

Passo 4: Calculando o Número de Bolinhas Brancas a Adicionar

Atualmente, a urna B já possui 16 bolinhas (sendo 4 pretas e 12 brancas). Portanto, para que o total seja 80, precisamos adicionar:

80−16=64 (bolinhas brancas)

Passo 5: Análise das Alternativas

A) 20: Muito abaixo do valor necessário.
B) 60: Ainda abaixo do valor necessário.
C) 64: Correta. Este é o número necessário para atingir o objetivo.
D) 68: Acima do valor necessário.
E) 80: Muito acima do valor necessário.

Conclusão: A alternativa correta é a C) 64.

5º Passo: Conclusão e Justificativa

Conclusão: A alternativa correta é a C), pois o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B é 64 para garantir que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher seja menor ou igual a 1%.

Resumo Final

Para diminuir a probabilidade de ganhar o voucher para 1% ou menos, é necessário adicionar 64 bolinhas brancas à urna B, resultando em um total de 80 bolinhas, onde 4 são pretas e 76 são brancas. Portanto, a alternativa correta é a C.