Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente,
esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
a) 1 198,8
b) 1 296,0
c) 1 360,8
d) 4 665,6
e) 4 860,0
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática: Geometria Espacial, Volume de Cone, Tronco de Cone, e Cilindro.
- Física: Relação de densidade e massa.
Nível da Questão: Difícil
Gabarito: B
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão: “Qual é a massa, em gramas, dessa escultura?”
Objetivo: Determinar a massa da escultura final, considerando os volumes do tronco do cone e do cilindro perfurado, e a densidade da madeira.
2º Passo: Análise das Frases-Chave do Texto
- Cone original: 36 cm de altura, diâmetro da base 18 cm.
- Cone menor removido: diâmetro da base 6 cm.
- Cilindro perfurado: diâmetro 6 cm.
- Densidade da madeira: 0,6 g/cm3.
Esses trechos nos ajudam a identificar as características dos sólidos e as dimensões necessárias para o cálculo dos volumes.
3º Passo: Explicação dos Conceitos Importantes
Volume do Cone (V): A fórmula para calcular o volume de um cone é:
onde r é o raio da base e h é a altura.
Volume do Tronco de Cone (V_t): A fórmula para o volume do tronco de cone é:
onde R é o raio da base maior, r é o raio da base menor, e h é a altura do tronco.
Volume do Cilindro (V_c): A fórmula para calcular o volume do cilindro é:
onde r é o raio da base e h é a altura.
4º Passo: Resolução e Análise das Alternativas
Passo 1: Calcular o Volume do Tronco de Cone.
Vamos calcular o volume do tronco de cone formado pela subtração do cone menor do cone maior.
- Dimensões do Cone Maior:
- Raio da base maior (R) =18cm/2 = 9cm
- Altura (H) = 36 cm
- Dimensões do Cone Menor:
- Raio da base menor (r) = 6cm/2 = 3cm
- Altura proporcional ao cone maior, obtida por semelhança:
- Altura do Tronco de Cone: ht = H − hr = 36 − 12 = 24cm
- Volume do Tronco de Cone (Vt):
Substituindo os valores:
Passo 2: Calcular o Volume do Cilindro Perfuração
- Raio do Cilindro: 6cm/2 = 3cm
- Altura do Cilindro: Igual à altura do tronco de cone, hc = 24cm
- Volume do Cilindro (Vc):
Passo 3: Calcular o Volume Final da Escultura
- Volume Final (Vf):
Passo 4: Calcular a Massa da Escultura
- Densidade da Madeira: d = 0,6g/cm3
- Massa (mmm): m = d × Vf = 0,6 × 2160 = 1296g
Análise das Alternativas
A) 1 198,8 – Incorreta
B) 1 296,0 – Correta
C) 1 360,8 – Incorreta
D) 4 665,6 – Incorreta
E) 4 860,0 – Incorreta
5º Passo: Conclusão e Justificativa
Conclusão: A alternativa correta é a B), pois, após todos os cálculos, encontramos que a massa da escultura é de 1296 g.
Resumo Final
Para resolver essa questão, calculamos o volume do tronco de cone obtido pela subtração do cone menor do cone maior. Em seguida, calculamos o volume do cilindro perfurado e subtraímos do volume do tronco para obter o volume final. Por fim, utilizamos a densidade da madeira para calcular a massa da escultura, resultando em 1296 g. Portanto, a alternativa correta é a B.
