Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente,
esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
a) 1 198,8
b) 1 296,0
c) 1 360,8
d) 4 665,6
e) 4 860,0
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volumes de Cones e Cilindros).
- Semelhança de Triângulos (Teorema de Tales).
- Física/Química (Conceito de Densidade: Massa x Volume).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a massa de um sólido complexo obtido através da subtração de volumes. O aluno deve ser capaz de decompor a figura em sólidos conhecidos (Cone Grande, Cone Pequeno e Cilindro), calcular seus volumes individuais e aplicar a densidade do material.
Nível da Questão:
Difícil.
Justificativa: A questão exige múltiplas etapas. Primeiro, é preciso usar semelhança de triângulos para descobrir a altura do corte. Depois, calcular três volumes diferentes. Por fim, realizar as subtrações e a conversão de volume para massa. Um erro numérico em qualquer etapa compromete o resultado final.
Gabarito:
Letra B – 1 296,0
Resumo: O volume final da peça é o Volume do Cone Original menos o Volume da Ponta (Cone Menor) menos o Volume do Furo (Cilindro). O volume resultante é 2160 cm³. Multiplicando pela densidade (0,6), chegamos a 1296 g.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
Precisamos descobrir a massa (em gramas) da escultura final.
O texto nos dá a densidade da madeira (0,6 g por cm³).
Para achar a massa, precisamos descobrir o Volume Final da peça.
A Analogia Central (O Escultor Matemático):
Imagine que você tem um cone de massinha.
- Você corta a ponta dele fora (Subtração do Cone Pequeno).
- Você pega um canudo e fura o meio dele (Subtração do Cilindro).
A questão é: Qual o volume de massinha que sobrou na sua mão?
- Fórmula do Sucesso: Massa = (Volume do Cone Grande – Volume da Ponta – Volume do Furo) x Densidade.
Nosso Plano de Ataque:
- Descobrir a altura da ponta removida (Semelhança de Triângulos).
- Calcular o Volume do Cone Grande.
- Calcular e subtrair o Volume do Cone Pequeno (Ponta).
- Calcular e subtrair o Volume do Cilindro (Furo).
- Multiplicar o resultado pela densidade.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Dados do problema:
- Raio Maior (R) = 18 / 2 = 9 cm.
- Altura Total (H) = 36 cm.
- Raio Menor (r) = 6 / 2 = 3 cm (tanto para a ponta quanto para o cilindro).
- Pi (π) = 3.
- Densidade (d) = 0,6 g/cm³.
Fórmulas Necessárias:
- Volume do Cone: V = (π . r² . h) / 3
- Volume do Cilindro: V = π . r² . h
- Semelhança (Tales): H / R = h / r
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Etapa A: Descobrindo a altura do corte
O cone grande tem raio 9 e altura 36. O cone pequeno (a ponta que saiu) tem raio 3. Qual a altura dele (h)?
Por semelhança de triângulos:
Altura Grande / Raio Grande = Altura Pequena / Raio Pequeno
36 / 9 = h / 3
4 = h / 3
h = 12 cm (Altura do cone pequeno).
Conclusão Lógica: Se o cone todo tinha 36 cm e a ponta tinha 12 cm, a parte que sobrou (o tronco) tem altura de 24 cm. Essa também será a altura do cilindro que fura a peça.
Etapa B: Calculando os Volumes (A Subtração)
- Volume do Cone Grande (Tudo):
V = (3 . 9² . 36) / 3
(Corta o 3 com o 3)
V = 81 . 36 = 2916 cm³. - Volume do Cone Pequeno (A Ponta removida):
V = (3 . 3² . 12) / 3
V = 9 . 12 = 108 cm³.Volume do Tronco (antes de furar) = 2916 – 108 = 2808 cm³. - Volume do Cilindro (O Furo):
A altura do cilindro é a altura do tronco (24 cm) e o raio é 3 cm.
V = π . r² . h
V = 3 . 3² . 24
V = 3 . 9 . 24 = 27 . 24 = 648 cm³.
Etapa C: O Volume Final e a Massa
Volume Final = Tronco – Cilindro
Volume Final = 2808 – 648 = 2160 cm³.
Agora, a pesagem (Massa):
Massa = Densidade . Volume
Massa = 0,6 . 2160
Massa = 1296 g.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a altura do cilindro!
Muitos alunos usam a altura total (36 cm) para calcular o cilindro, achando que o furo vai até a ponta imaginária do cone.
Erro! O texto diz que ele perfura o tronco. O tronco só tem 24 cm de altura. Se você usar 36 cm no cilindro, vai subtrair madeira que nem existia mais (a ponta já tinha sido cortada).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O volume de madeira é 2160 cm³. A cada cm³ temos 0,6 gramas.
- Expectativa: O valor exato de 1296.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 1 198,8
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo no volume do cilindro.
- Análise: Provavelmente o aluno usou uma altura incorreta ou errou a multiplicação final, subtraindo mais do que devia.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 1 296,0
- Análise: Perfeito. O cálculo dos três volumes foi feito corretamente, as subtrações respeitaram a geometria da peça e a densidade foi aplicada ao volume final de 2160 cm³.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
c) 1 360,8
- Diagnóstico do Erro: Confusão nas dimensões.
- Análise: Resultado próximo, possivelmente oriundo de arredondamentos indevidos ou erro ao calcular a altura do tronco (usando valores aproximados em vez da semelhança exata).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) 4 665,6
- Diagnóstico do Erro: Esqueceu as remoções.
- Análise: Esse valor é muito alto. Provavelmente o aluno calculou o volume de um cilindro gigante envolvendo a peça toda ou somou volumes em vez de subtrair, errando drasticamente a interpretação da “escultura” (que é retirada de material).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 4 860,0
- Diagnóstico do Erro: Volume do cubo ou cilindro envolvente.
- Análise: Se calcularmos o volume de um cilindro com raio 9 e altura 36 (o bloco bruto antes de esculpir talvez), teríamos valores nessa faixa. O aluno calculou a madeira bruta, não a escultura final.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A escultura na matemática é a arte da subtração. Você começa com tudo e vai tirando o que não serve.
Resumo-flash: ⚡
“Cone Grande – Ponta – Furo = Arte. Multiplica pelo peso (densidade) e corre pro abraço.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Na indústria, esse processo é chamado de Usinagem. Um torno mecânico pega uma peça bruta e vai retirando material para chegar na peça final (eixo, parafuso). O engenheiro precisa calcular exatamente o volume final para saber o peso da peça no carro ou avião, pois cada grama conta na eficiência do combustível.
