qual expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar ?
Resolução em Texto
Matéria: Matemática (Combinatória e Permutação).
Nível de Dificuldade: Médio.
Gabarito: Incorreta (não há alternativa válida).
Erro Identificado: Incompatibilidade entre as condições descritas no enunciado e as expressões apresentadas nas alternativas.
Passos Seguindo o Padrão com Adição de um Novo Cenário: A resolução inclui um Passo 6 para descrever as condições em que a questão seria válida.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão:
A questão pede que identifiquemos a expressão que representa o número de painéis diferentes possíveis respeitando a organização dos times em linhas, com base em suas origens (estados).
Palavras-Chave:
- Painéis diferentes.
- Grupos organizados por estado (linhas).
- Permutação e combinação.
Objetivo:
Determinar a expressão que calcula o número de combinações possíveis para montar o painel, obedecendo às condições apresentadas no enunciado.
Dica Geral ⚠️:
Em questões de permutação e combinação, sempre verifique se o enunciado impõe condições de agrupamento ou independência entre os elementos para evitar erros de interpretação!
2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto
Resumo do Contexto:
O painel deve conter seis linhas, cada uma preenchida de acordo com as seguintes condições:
- 1ª linha: Três clubes do Rio Grande do Sul (Grêmio, Internacional, Juventude).
- 2ª linha: Três clubes do Rio de Janeiro (Flamengo, Vasco, Fluminense).
- 3ª linha: Dois clubes de Minas Gerais (Cruzeiro, Atlético Mineiro).
- 4ª linha: Cinco clubes de São Paulo (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André).
- 5ª linha: Demais clubes, sem restrições (Sport, Criciúma).
Erro Principal:
As alternativas fornecidas não respeitam as restrições impostas pelo agrupamento de clubes em linhas específicas, tornando impossível identificar uma solução correta.
3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
Conceitos Relevantes:
- Permutação Simples:
Fórmula: n!, usada para organizar n elementos distintos em uma sequência.- Exemplo: Organizar 3 times do Rio Grande do Sul (Grêmio, Internacional, Juventude) → 3!=6.
- Multiplicação de Permutações:
Quando há agrupamentos distintos e independentes, multiplicamos as permutações de cada grupo.- Exemplo: Organizar 3 times do Rio Grande do Sul (3!) e 3 times do Rio de Janeiro (3!) → 3!×3!
Erro Cometido:
A questão trata o problema como uma permutação geral de todos os times sem considerar as condições impostas pelos grupos.
4º Passo: Análise das Alternativas
Alternativa A:
Expressa uma permutação simples de todos os times, ignorando a organização por estados. Incorreta.
Alternativa B:
Tenta dividir os grupos, mas falha em separar corretamente as permutações por estado. Incorreta.
Alternativa C:
Mistura permutações de maneira equivocada, não respeitando a organização em linhas. Incorreta.
Alternativa D:
Apresenta uma expressão sem base no agrupamento definido. Incorreta.
Alternativa E:
Similar às demais, ignora as condições do enunciado. Incorreta.
Conclusão: Nenhuma alternativa está correta, pois todas falham em respeitar a estrutura pedida.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão:
Não há alternativa correta. A questão está incorreta devido à ausência de expressões que respeitem as condições de agrupamento por estados e a permutação dentro desses grupos.
Resumo Final:
A questão falha em oferecer uma alternativa correta porque não apresenta expressões que considerem as restrições impostas no enunciado. Um cálculo correto deveria multiplicar as permutações de cada grupo (1ª linha: 3!, 2ª linha:3!, etc.) para formar a expressão final.
6º Passo: Cenário em que a Questão Estaria Correta
Condições Necessárias para a Correção:
- Revisão do cálculo e apresentação de uma alternativa que respeite a organização dos times:
- 3! para o Rio Grande do Sul.
- 3! para o Rio de Janeiro.
- 2! para Minas Gerais.
- 5! para São Paulo.
- Permutação dos 15 times no geral para preencher lacunas, multiplicando os fatores.
- A expressão correta seria:3!×3!×2!×5!×2!
- Garantir que o enunciado especificasse claramente que cada grupo seria independente e que a permutação deveria ser aplicada somente entre os clubes dentro de cada grupo.
