Questão 137 – Geometria Espacial
O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas.
Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo.
Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central.
Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução:
- Geometria Espacial.
Nível de Dificuldade: Médio (Padrão ENEM).
Gabarito: Alternativa E.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão: Identificar a projeção ortogonal do trajeto percorrido por um visitante dentro do Atomium, considerando todas as suas conexões.
Palavras-chave:
- Projeção ortogonal.
- Trajeto percorrido.
- Arestas e diagonais.
- Cubo.
Objetivo: Determinar a figura geométrica que representa a sombra (projeção ortogonal) do trajeto completo, abrangendo arestas e diagonais do cubo.
Dica Geral: Para entender a projeção ortogonal, imagine o sol diretamente acima do objeto. A sombra no chão será a projeção de todas as arestas e diagonais que conectam os vértices do cubo.
2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto
Principal Descrição:
- O Atomium é estruturado como um cubo com oito esferas metálicas nos vértices e uma esfera central no ponto de interseção das diagonais.
- O visitante percorreu todas as arestas e diagonais, conectando os vértices.
Projeção Ortogonal:
- O cubo, ao ser projetado, mantém as arestas e diagonais visíveis em sua base.
- A sombra (projeção) inclui os caminhos retos percorridos pelo visitante.
Conclusão Parcial: A projeção ortogonal do trajeto percorrido será equivalente à união das arestas e diagonais de uma base hexagonal resultante.
3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
- Projeção Ortogonal: Processo de representar um objeto tridimensional sobre um plano bidimensional, como se fosse visto diretamente de cima.
- Cubos e Diagonais: Um cubo possui arestas conectando os vértices, e as diagonais cruzam o centro do cubo, conectando vértices opostos.
4º Passo: Análise das Alternativas
- Alternativa A: Mostra todas as arestas e diagonais do cubo, mas não reflete o formato do Atomium quando projetado ortogonalmente.
Conclusão: Alternativa incorreta. - Alternativa B: Representa apenas um plano com diagonais incompletas, inadequado para o cubo completo.
Conclusão: Alternativa incorreta. - Alternativa C: Apresenta um padrão retangular com diagonais cruzadas, que não reflete a totalidade do trajeto percorrido.
Conclusão: Alternativa incorreta. - Alternativa D: Apresenta linhas retas paralelas e um padrão simplificado que não representa as diagonais do cubo.
Conclusão: Alternativa incorreta. - Alternativa E: Exibe o trajeto completo das arestas e diagonais do cubo em uma projeção hexagonal, correspondente ao padrão do Atomium.
Conclusão: Alternativa correta.
⚠️ Dica Geral: Sempre imagine a projeção como a sombra da estrutura ao meio-dia, representando apenas os contornos visíveis.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão: A projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo visitante, incluindo todas as arestas e diagonais do cubo, é representada pela figura da Alternativa E.
Resumo Final: O uso da técnica do “chichi” facilita visualizar o formato hexagonal, pois o visitante percorre todos os caminhos possíveis, gerando a projeção hexagonal com linhas internas correspondentes às diagonais e arestas do cubo.
