Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ² = φ+1
Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência φ7, escrita na forma aφ+b (a e b são inteiros positivos), é
A) 5φ+3
B) 7φ+2
C) 9φ+6
D) 11φ+7
E) 13φ+8
Resolução em Texto
Matérias Necessárias:
- Matemática (propriedade da proporção áurea, sequência de Fibonacci, operações algébricas).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: E.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão: Calcular o valor de 
e expressá-lo na forma aϕ+b, onde a e b são inteiros positivos.
Palavras-chave: “potências de ϕ”, “forma aϕ+b”, “sequência”.
Objetivo: Determinar o padrão nas expressões das potências de ϕ e aplicá-lo para calcular .
Dica Geral: ⚠️ Observe o padrão! Utilize as relações previamente apresentadas para evitar cálculos extensos.
2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto
- ϕ é a solução positiva da equação ϕ²=ϕ+1, o que define sua propriedade como a proporção áurea.
- As potências de ϕ podem ser expressas na forma aϕ+b, onde:
- O coeficiente a segue a sequência de Fibonacci.
- O coeficiente b também segue a sequência de Fibonacci, mas deslocada uma posição.
3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
- Propriedade de ϕ:
- A relação ϕ²=ϕ+1 permite simplificar potências de ϕ, pois qualquer termo superior pode ser decomposto em combinações lineares de ϕ e inteiros.
- Sequência de Fibonacci:
- A sequência de Fibonacci é definida por Fn=Fn−1+Fn−2, onde os primeiros termos são F1=1 e F2=1.
- Os coeficientes aaa e bbb de ϕn\phi^nϕn seguem a sequência de Fibonacci.
- Cálculo das Potências:
- Cada nova potência de ϕ\phiϕ é a soma das duas potências anteriores:
- Cada nova potência de ϕ\phiϕ é a soma das duas potências anteriores:
4º Passo: Análise das Alternativas
Vamos verificar o padrão descrito no quadro:
Agora, calculamos
Conclusão: A alternativa correta é E.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão: A alternativa correta é E, pois segue o padrão Fibonacci, resultando em 13ϕ+8.
Resumo Final: O cálculo utilizou a relação entre potências consecutivas de ϕ, aplicando a propriedade ϕ²=ϕ+1 e o padrão Fibonacci. Isso permitiu encontrar de forma eficiente, validando a alternativa E.
