Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula:
V = P × (1 + i)ⁿ
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para In(4/3) e 0,0131 como aproximação para In(1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
a) 56ª
b) 55ª
c) 52ª
d) 51ª
e) 45ª
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática Financeira – Juros compostos e desconto por antecipação.
- Logaritmos – Uso de logaritmos naturais para encontrar o tempo em uma equação exponencial.
- Equações Exponenciais – Resolução de equações com expoentes desconhecidos.
🎯 Nível da Questão:
Difícil – Requer conhecimento sobre juros compostos, propriedades dos logaritmos e manipulação de equações exponenciais.
✅ Gabarito: Letra C
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão apresenta um contrato de empréstimo com 60 parcelas mensais fixas de R$ 820,00 e uma taxa de juros compostos de 1,32% ao mês.
📌 O que o problema quer?
- Determinar a primeira parcela, além da 30ª, que pode ser paga antecipadamente com desconto de 25%.
- A equação dos juros compostos V = P × (1 + i)ⁿ nos ajuda a calcular quantos meses adiantamos para que a redução atinja 25% da parcela.
🔍 Palavras-chave:
- Juros compostos → O valor presente é reduzido com base na taxa e no número de meses.
- Desconto de 25% → O valor presente deve ser 75% do valor futuro.
- Logaritmo natural (ln) → Usado para isolar expoentes em equações exponenciais.
📌 Objetivo Final: Resolver a equação e encontrar a primeira parcela antecipada que pode ser paga junto à 30ª.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Juros Compostos
Nos juros compostos, o valor futuro V é calculado pela fórmula:
V = P × (1 + i)ⁿ
Onde:
- V = valor futuro (valor original da parcela).
- P = valor presente (valor com desconto).
- i = taxa de juros (1,32% = 0,0132).
- n = número de meses antecipados.
📌 Como funciona o desconto?
- Como o desconto é de 25%, o valor presente será 75% da parcela original.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
O enunciado nos fornece:
- Valor da parcela: 820
- Taxa de juros: 1,32% = 0,0132
- Desconto: 25% → O valor antecipado será 75% da parcela original.
- Fórmula dos juros compostos → Aplicada para determinar quantas parcelas serão antecipadas.
Queremos encontrar n, que indica quantos meses antes do vencimento uma parcela pode ser paga para obter o desconto de 25%.
Agora, vamos resolver a equação!
Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
A equação a ser resolvida é:
820 / (1,0132)ⁿ = 0,75 × 820
Cancelamos 820 dos dois lados:
1 / (1,0132)ⁿ = 0,75
Invertendo os dois lados:
(1,0132)ⁿ = 4/3
Agora, aplicamos logaritmo natural (ln) nos dois lados:
ln((1,0132)ⁿ) = ln(4/3)
Usamos a propriedade dos logaritmos ln(aⁿ) = n × ln(a):
n × ln(1,0132) = ln(4/3)
Substituímos os valores aproximados fornecidos no enunciado:
- ln(4/3) ≈ 0,2877
- ln(1,0132) ≈ 0,0131
n × 0,0131 = 0,2877
Isolamos n:
n = 0,2877 / 0,0131
n ≈ 21,9
Como n ≈ 22, a primeira parcela antecipada será a 52ª parcela (pois contamos 22 meses após a 30ª parcela).
Resposta correta: alternativa C.
Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do raciocínio:
- Aplicamos a fórmula dos juros compostos para representar a antecipação da parcela.
- Como o desconto é de 25%, resolvemos (1,0132)ⁿ = 4/3.
- Utilizamos logaritmos naturais (ln) para encontrar n = 21,9.
- Como a antecipação começa na 30ª parcela, a próxima parcela a ser quitada com desconto será a 52ª.
💡 Resumo Final:
A matemática financeira aplicada aos juros compostos permite calcular quantas parcelas podem ser antecipadas para obter um desconto. Com os cálculos, concluímos que a primeira parcela que pode ser antecipada junto à 30ª é a 52ª.
✔ Resposta correta: Letra C! ✅
