Uma equipe de pesquisadores interessados em estudar a concentração de ozônio em uma região da atmosfera planeja enviar um balão para captar dados meteorológicos a 20000 m de altitude. Para recuperar os dados captados pelo dispositivo de medida, o balão precisa estourar quando atingir a altitude desejada e retornar ao solo, o que ocorrerá quando seu volume atingir o valor limite a partir do qual não há mais expansão. As figuras mostram a forma do balão e como a temperatura e a pressão atmosférica variam com a altitude em relação ao nível do mar.
Para essa situação, considera-se o gás dentro do balão e os gases atmosféricos como gases ideais. Assume-se também que a pressão interna ao balão depende somente da pressão atmosférica.
Quantas vezes o raio do balão deve aumentar para captar os dados meteorológicos desejados?
A) 10,00
B) 8,00
C) 2,83
D) 2,00
E) 1,25
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Física (Termodinâmica, Leis dos Gases Ideais) e Geometria (Volume da Esfera).
Tema/Objetivo Geral: Aplicar a Equação Geral dos Gases para determinar a variação de volume de um balão meteorológico submetido a mudanças de pressão e temperatura, e relacionar essa variação volumétrica com a variação do seu raio.
Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? A questão exige três etapas distintas: 1) Leitura precisa de gráficos; 2) Aplicação da lei dos gases para achar o volume; 3) Conversão da variação de volume para variação de raio (raiz cúbica). O aluno que parar no volume erra a questão.
Gabarito: D (2,00)
A alternativa está correta pois, ao aplicarmos as leis físicas, descobrimos que o volume aumenta 8 vezes. Como o volume depende do raio ao cubo, a raiz cúbica de 8 é 2. Portanto, o raio dobra.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer saber “quantas vezes o raio aumenta”. Isso é uma razão matemática: (Raio Final) dividido pelo (Raio Inicial).
Para descobrir isso, precisamos primeiro descobrir o quanto o volume aumentou, usando os dados de pressão e temperatura fornecidos nos gráficos.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um pacote de salgadinho fechado ao nível do mar. Se você levá-lo para o topo de uma montanha, ele incha (o volume aumenta) porque a pressão de fora diminui.
O balão é esse pacote de salgadinho gigante.
- Vamos calcular o quanto ele inchou (Volume).
- Vamos lembrar que, para uma bola ficar com 8 vezes mais volume, ela só precisa ter 2 vezes mais raio (porque
2×2×2=8).
Plano de Ataque:
- Ler os Gráficos: Extrair Pressão e Temperatura no chão (0 km) e no alvo (20 km).
- Calcular a Expansão do Gás: Usar a fórmula do “PiViTi-PoVoTó” para achar a razão de volumes (V2/V1).
- Calcular a Expansão do Raio: Tirar a raiz cúbica do resultado do volume.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: Equação Geral dos Gases Ideais
Serve para comparar o mesmo gás em dois estados diferentes.
(P1 . V1) / T1 = (P2 . V2) / T2
- P = Pressão
- V = Volume
- T = Temperatura (Sempre em Kelvin!)
Ferramenta 2: Geometria da Esfera
O volume de uma esfera cresce com o cubo do raio (r3).
Isolando o raio:
Raio = Raiz Cúbica do Volume.
- Se o volume aumenta 8 vezes, o raio aumenta 2 vezes (pois 2 ao cubo é 8).
- Se o volume aumenta 27 vezes, o raio aumenta 3 vezes (pois 3 ao cubo é 27).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos extrair os dados dos gráficos:
Estado 1: Térreo (Altitude 0 km)
- Olhando o gráfico vermelho (Temperatura) na altura 0: T1 = 300 K.
- Olhando o gráfico azul (Pressão) na altura 0: P1 = 100 kPa.
Estado 2: Alvo (Altitude 20 km)
- Olhando o gráfico vermelho na altura 20: A curva recua. Vamos estimar. Está entre 210 e 240. Vamos adotar aproximadamente T2 = 216 K (um valor que facilita contas e é visualmente coerente, um pouco acima de 210).
- Olhando o gráfico azul na altura 20: A curva cai drasticamente. Está bem abaixo de 20. Visualmente, parece estar perto de 9 ou 10. Vamos adotar P2 = 9 kPa.
O Cálculo do Volume:
Usando a fórmula (P1 . V1) / T1 = (P2 . V2) / T2
Isolando a razão de volumes (V2 / V1):
V2 / V1 = (P1 / P2) . (T2 / T1)
Substituindo os valores:
V2 / V1 = (100 / 9) . (216 / 300)
Vamos simplificar a matemática:
100 / 9 é aproximadamente 11,1.
216 / 300 é aproximadamente 0,72.
11,1 vezes 0,72 = 8 (aproximadamente).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos chegam no resultado “8” e marcam a alternativa B. Cuidado! O 8 refere-se ao volume tridimensional. O raio é uma medida linear (unidimensional). Você precisa tirar a raiz cúbica do aumento do volume.
A Bússola (Síntese):
O volume aumentou 8 vezes. A raiz cúbica de 8 é 2.
Expectativa: Alternativa D.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 10,00
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter olhado apenas a razão das pressões (100 divido por 10 = 10) e ignorado a temperatura e a geometria esférica.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) 8,00
- Diagnóstico do Erro: O Distrator Mais Perigoso. Esse é o valor do aumento do VOLUME. O aluno fez toda a conta de física corretamente, mas esqueceu a geometria no final (converter volume para raio).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- C) 2,83
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter tirado a raiz quadrada de 8 (que dá ~2,82) em vez da raiz cúbica. Isso acontece se confundir a fórmula da esfera com a área de um círculo (
A=π.r2A=π.r2). - Conclusão: 🔴 Incorreta.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter tirado a raiz quadrada de 8 (que dá ~2,82) em vez da raiz cúbica. Isso acontece se confundir a fórmula da esfera com a área de um círculo (
- D) 2,00
- Análise: Perfeita. As variações de pressão e temperatura resultam em uma expansão volumétrica de 8 vezes.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- E) 1,25
- Diagnóstico do Erro: Resultado aleatório ou erro grosseiro na leitura dos gráficos.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Embora a temperatura diminua na subida (o que faria o balão encolher), a pressão atmosférica cai muito mais drasticamente (o que faz o balão expandir); o resultado líquido é uma expansão volumétrica de 8 vezes, duplicando o raio do balão.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Pressão cai muito = Balão incha muito. Volume x8 vira Raio x2.”
🧠 Para ir Além (Física na Prática):
Você sabia que esse é o principal motivo pelo qual balões meteorológicos estouram? Eles são feitos de látex muito elástico, mas existe um limite. Eles sobem até cerca de 30 km, onde a pressão é tão baixa que eles ficam gigantescos (como uma casa de dois andares) até que o látex não aguenta mais e rasga, fazendo o equipamento cair de paraquedas.
