Questão 152, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

A exposição a alguns níveis sonoros pode causar lesões auditivas. Por isso, em uma indústria, são adotadas
medidas preventivas de acordo com a máquina que o funcionário opera e o nível N de intensidade do som,
medido em decibel (dB), a que o operário é exposto, sendo N = log₁₀I¹⁰ – log₁₀I₀¹⁰, I a intensidade do som e I₀ = 10⁻¹² W/m²

Disponível em: www.sofisica.com.br. Acesso em: 8 jul. 2015 (adaptado).

Quando o som é considerado baixo, ou seja, N = 48 dB ou menos, deve ser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som ser moderado, quando N está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve ser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, que equivale a N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a ser usada é a III. Se N estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve ser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com N maior que 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V.
Uma nova máquina, com I = 8 x 10⁻⁸ W/m², 2 foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz.
Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2.

O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática (Logaritmos e suas Propriedades).
Álgebra (Potenciação e Notação Científica).
Interpretação de Texto (Intervalos Numéricos).

Tema/Objetivo Geral:
Calcular o nível sonoro em decibéis (N) aplicando propriedades de logaritmos em uma fórmula dada, e classificar o resultado dentro de intervalos pré-estabelecidos para tomar uma decisão de segurança.

Nível da Questão:
Difícil.
Justificativa: A questão exige o domínio de várias propriedades de logaritmos (log do produto, log da potência, log do quociente) e manipulação precisa de potências de base 10 negativas. Um erro de sinal ou propriedade altera o resultado final drasticamente.

Gabarito:
Letra B – II.
Resumo: Aplicando os valores na fórmula, calculamos que o nível de ruído é de 49 dB. O intervalo da medida preventiva II é entre 48 e 55 dB. Como 49 está dentro desse intervalo, a resposta é II.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
A fábrica comprou uma máquina nova. Precisamos transformar esse número feio em um número de “Nível de Ruído” (N) em decibéis.
Depois, olhamos a tabela de regras:

Se der até 48 -> Medida I.
Se der entre 48 e 55 -> Medida II.
E assim por diante…

A Analogia Central (O Tradutor de Volume):
Imagine que a máquina fala uma língua alienígena (Watts por metro quadrado). Os humanos só entendem a língua “Decibéis”.
A fórmula de logaritmo é o Google Tradutor.
Você digita o valor em Watts, a fórmula processa os logs e cospe o valor em Decibéis. Com o valor traduzido, você escolhe o EPI (Equipamento de Proteção Individual) certo.

Nosso Plano de Ataque:

Simplificar a fórmula assustadora usando propriedades de log.
Substituir os valores de II e I0I0.
Calcular o logaritmo usando a dica log⁡2=0,3.
Encontrar o intervalo correspondente.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos limpar a fórmula dada no enunciado.

Fórmula Original:

N=log⁡(I10)−log⁡(I010)

(Obs: Quando a base do log não aparece, é 10).

Propriedade do “Tombo” (Log da Potência):

log⁡(xa)=a⋅log⁡(x)

Vamos jogar esse expoente 10 para frente do log. A fórmula fica muito mais amigável:

N=10⋅log⁡(I)−10⋅log⁡(I0)

Podemos colocar o 10 em evidência:

N=10⋅[log⁡(I)−log⁡(I0)]

E usando a propriedade da divisão , temos a fórmula clássica de decibéis :N=10⋅log⁡(I/I0)

Dados:

I=8×10−8
I0=10−12
log⁡2=0,3

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Aplicando a Fórmula

Vamos calcular o valor do nível de intensidade do som, N, usando a fórmula:

Substituindo os valores de I e I₀:

Podemos separar essa expressão usando as propriedades dos logaritmos:

Passo 2: Simplificando os Logaritmos

Podemos dividir essa expressão em duas partes:

log₁₀(8 × 10⁻⁸)
log₁₀(10⁻¹²)

Primeiro, vamos calcular cada um separadamente:

log₁₀(8 × 10⁻⁸)

Podemos separar em dois logaritmos:

Sabemos que:

E agora precisamos calcular log⁸₁₀. Podemos expressar 8 como:

Como foi dado que log²₁₀ = 0,3

Assim:

log₁₀(10⁻¹²):

Passo 3: Encontrando N

Agora, vamos substituir de volta:

N = −7,1 − (−12)

Precisamos agora classificar o valor de N=4,9 dB

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) I

Diagnóstico do Erro: Erro de propriedade logarítmica.
Análise: O aluno pode ter multiplicado os logs (log⁡8×log⁡104=0,9×4=3,6), resultando em N=36, ou esquecido de multiplicar por 10 no final (N=4,9).
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) II

Análise: Perfeito. O cálculo correto leva a N=49 dB. O texto diz que para N no intervalo entre 48 e 55 (exclusivos), usa-se a medida II. Como 49 é maior que 48 e menor que 55, esta é a resposta.
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

c) III

Diagnóstico do Erro: Erro de soma ou potência.
Análise: O aluno pode ter errado a conta do expoente ou somado errado, chegando a um valor acima de 55.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) IV

Diagnóstico do Erro: Ignorou o I0.
Análise: Se o aluno calcular apenas com o II e esquecer de dividir pelo I0 de referência, os valores saem completamente da escala correta.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

e) V

Diagnóstico do Erro: Erro grosseiro.
Análise: Para chegar aqui (>115), o aluno teria que encontrar um expoente maior que 11 no logaritmo, o que matematicamente não bate com os dados (104).
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

O ouvido humano não ouve de forma linear, ele ouve de forma logarítmica. Para você sentir que o som dobrou de volume, a energia precisa ser multiplicada por 10. O decibel é a régua que mede essa percepção.

Resumo-flash: ⚡
“Potências viram somas, divisões viram subtrações: o logaritmo achata números gigantes para caber na nossa orelha.”

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
A escala Richter (terremotos) e a escala de pH (química) também são logarítmicas.

Um terremoto grau 6 é 10 vezes mais forte que um grau 5.
Um terremoto grau 7 é 10×10=100 vezes mais forte que um grau 5.
Entender logaritmo é entender como a natureza escala fenômenos extremos.