Um apostador deve escolher uma entre cinco moedas ao acaso e lançá-la sobre uma mesa, tentando acertar qual resultado (cara ou coroa) sairá na face superior da moeda.
Suponha que as cinco moedas que ele pode escolher sejam diferentes:
• duas delas têm “cara” nas duas faces;
• uma delas tem “coroa” nas duas faces;
• duas delas são normais (cara em uma face e coroa na outra).
Nesse jogo, qual é a probabilidade de o apostador obter uma face “cara” no lado superior da moeda lançada por ele?
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Probabilidade Básica
- Probabilidade de Eventos Compostos (Regra do “E” e Regra do “OU”)
Tema/Objetivo Geral: Cálculo da probabilidade total de um evento que pode ocorrer através de múltiplos caminhos mutuamente exclusivos.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque não se trata de um único cálculo de probabilidade. Ela exige a identificação de diferentes cenários que levam ao sucesso, o cálculo da probabilidade de cada um desses cenários (que envolvem dois eventos sequenciais: escolher e lançar) e, por fim, a soma dessas probabilidades. Um raciocínio apressado pode levar a uma simplificação incorreta do problema.
Gabarito
Alternativa C). A resposta correta é 3/5, pois este é o resultado da soma das probabilidades de se obter “cara” por dois caminhos diferentes: ou escolhendo uma moeda viciada (com duas caras) ou escolhendo uma moeda normal e tirando “cara” no lançamento.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Nesse jogo, qual é a probabilidade de o apostador obter uma face ‘cara’ no lado superior da moeda lançada por ele?”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema pede a chance total de o resultado final ser “cara”, considerando todo o processo: primeiro, a escolha aleatória de uma das cinco moedas e, depois, o lançamento dessa moeda.
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa missão é calcular a probabilidade total de obter “cara”. Para isso, vamos identificar todos os tipos de moeda que podem resultar em “cara”, calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer e, por fim, somá-los.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou que a probabilidade não depende só do lançamento, mas primeiro da chance de você sortear o tipo certo de moeda?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Probabilidade Básica: É a razão entre os resultados que nos interessam (casos favoráveis) e todos os resultados possíveis (casos totais).
- Fórmula: P = (Casos Favoráveis) / (Casos Totais)
- Regra do “E” (Princípio Multiplicativo): Usada para calcular a probabilidade de dois ou mais eventos acontecerem em sequência. A probabilidade de acontecer o Evento A E o Evento B é o produto de suas probabilidades individuais.
- Fórmula: P(A e B) = P(A) × P(B)
- Exemplo do cotidiano: A chance de você tirar o número 6 em um dado (1/6) E tirar “cara” em uma moeda (1/2) é (1/6) × (1/2) = 1/12.
- Regra do “OU” (Princípio Aditivo): Usada para calcular a probabilidade de um evento OU outro acontecer, quando eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. A probabilidade total é a soma de suas probabilidades individuais.
- Fórmula: P(A ou B) = P(A) + P(B)
- Exemplo do cotidiano: Em um baralho, a chance de tirar uma carta de “Copas” (13/52) OU uma carta de “Espadas” (13/52) é (13/52) + (13/52) = 26/52 = 1/2.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que há um saco com 5 moedas especiais:
- 2 moedas são “Cara-Cara” (sempre dão cara).
- 1 moeda é “Coroa-Coroa” (nunca dá cara).
- 2 moedas são normais (“Cara-Coroa”).
Você fecha os olhos, pega uma moeda do saco e joga para cima. Qual a chance de o resultado ser “cara”? Para ganhar, você pode ter sorte de duas maneiras: OU você pega uma das moedas “Cara-Cara”, OU você pega uma moeda normal e dá a sorte de ela cair com a face “cara” para cima.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é:
- Calcular a probabilidade do Caminho 1: escolher uma moeda “Cara-Cara” E obter cara.
- Calcular a probabilidade do Caminho 2: escolher uma moeda normal E obter cara.
- Somar as probabilidades dos dois caminhos, pois um OU o outro nos leva à vitória.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos analisar os caminhos que podem resultar em “cara”.
Caminho 1: Sortear uma moeda com duas faces “cara”
- Etapa 1: A probabilidade de escolher uma dessas moedas. Há 2 moedas “Cara-Cara” em um total de 5 moedas.
- P(escolher moeda CC) = 2/5
- Etapa 2: A probabilidade de obter “cara” ao lançar essa moeda. Como ela tem “cara” nos dois lados, a chance é de 100%.
- P(obter cara | foi escolhida CC) = 1
- A probabilidade total do Caminho 1 (Etapa 1 E Etapa 2) é:
- P(Caminho 1) = (2/5) × 1 = 2/5
Caminho 2: Sortear uma moeda normal E obter “cara” no lançamento
- Etapa 1: A probabilidade de escolher uma moeda normal. Há 2 moedas normais em um total de 5 moedas.
- P(escolher moeda normal) = 2/5
- Etapa 2: A probabilidade de obter “cara” ao lançar uma moeda normal. É um lançamento comum, com 50% de chance.
- P(obter cara | foi escolhida normal) = 1/2
- A probabilidade total do Caminho 2 (Etapa 1 E Etapa 2) é:
- P(Caminho 2) = (2/5) × (1/2) = 2/10 = 1/5
Probabilidade Total (Caminho 1 OU Caminho 2)
Como esses dois caminhos são as únicas formas de ganhar, e eles não podem acontecer ao mesmo tempo, somamos suas probabilidades:
- P(Total) = P(Caminho 1) + P(Caminho 2)
- P(Total) = (2/5) + (1/5) = 3/5
4.2 Verificação Intermediária
O resultado é 3/5, ou 60%. Isso faz sentido, pois há uma “vantagem” para o lado “cara” no conjunto de moedas, então a probabilidade deveria ser maior que 50%.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria contar o número total de faces no “universo” de moedas. Temos 10 faces no total (5 moedas x 2 faces). Dessas, 6 são “cara” (2×2 das viciadas + 2×1 das normais). Alguém poderia concluir que a chance é 6/10 = 3/5. Embora o resultado numérico seja o mesmo neste caso específico, o raciocínio está conceitualmente incompleto, pois ignora a natureza sequencial do processo (primeiro escolher, depois lançar).
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado, seguindo as regras da probabilidade, nos levou ao resultado de 3/5. Agora, vamos conferir as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1/8
B) 2/5
C) 3/5
D) 3/4
E) 4/5
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 1/8: Incorreto. Este valor não surge de nenhum cálculo lógico com os dados do problema.
- (🔴) B) 2/5: Incorreto. Esta é a probabilidade de apenas um dos caminhos para a vitória (o de escolher uma moeda “Cara-Cara”). É uma resposta incompleta.
- (🟢) C) 3/5: Correto. É a soma das probabilidades dos dois cenários possíveis para se obter “cara”.
- (🔴) D) 3/4: Incorreto. Valor sem relação com os dados do problema.
- (🔴) E) 4/5: Incorreto. Esta seria a probabilidade de escolher uma moeda que pode dar cara (as 2 “Cara-Cara” + as 2 normais), mas ignora a segunda etapa do lançamento para as moedas normais.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se identificar os dois caminhos mutuamente exclusivos que resultam em “cara”. Calculamos a probabilidade de cada caminho acontecer usando o princípio multiplicativo (escolher E lançar) e, em seguida, somamos as probabilidades desses caminhos usando o princípio aditivo (caminho 1 OU caminho 2).
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 3/5.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de probabilidade com múltiplas etapas ou cenários, sempre se pergunte: os eventos acontecem em sequência (regra do “E”, multiplica) ou são opções diferentes (regra do “OU”, soma)?
