A figura ilustra a vista superior de um brinquedo gira-gira em um parque de diversões, no qual a linha contínua, em formato circular tendo O como seu centro, indica o assento onde as crianças se posicionam no brinquedo. O ponto P indica a posição ocupada por uma criança, em um instante de tempo T, quando o brinquedo está girando continuamente no sentido anti-horário (com O fixo), e velocidade constante por várias voltas.
O brinquedo está situado nas proximidades de duas paredes verticais e perpendiculares entre si. Seja D a distância de P até a parede I.
O gráfico que melhor representa, em função do tempo t a partir do instante T, a distância D é
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Interpretação de Gráficos (Distância vs. Tempo)
- Cinemática: Movimento Circular Uniforme
- Análise de Funções Periódicas (Conceitos de Trigonometria)
Tema/Objetivo Geral: Representação gráfica de um movimento periódico, relacionando a posição de um objeto em uma trajetória circular com sua distância a um referencial fixo.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque exige a habilidade de abstração para converter um movimento físico em um gráfico de função. Não é um cálculo, mas sim uma análise qualitativa que requer a compreensão de como a distância varia de forma não linear (senoidal) e periódica, identificando corretamente os pontos de máximo e mínimo.
Gabarito
Alternativa C). Este gráfico representa corretamente um movimento periódico que, no instante inicial T, parte de uma distância mínima, aumenta até uma distância máxima e depois diminui, repetindo esse ciclo continuamente.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O gráfico que melhor representa, em função do tempo t a partir do instante T, a distância D [de P até a parede I] é”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para escolhermos o gráfico que descreve corretamente como a distância (D) do ponto P até a Parede I muda com o passar do tempo (t).
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa meta é analisar o movimento do ponto P em uma volta completa e traduzir a variação da distância D em um desenho gráfico, para então compará-lo com as alternativas.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o movimento é contínuo e se repete? Isso significa que o gráfico também deve ter um padrão que se repete, ou seja, deve ser periódico!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Gráfico Distância x Tempo: É um diagrama que mostra a posição (ou distância de um ponto de referência) de um objeto ao longo do tempo. O eixo vertical (y) representa a distância e o eixo horizontal (x) representa o tempo.
- Movimento Periódico: É um movimento que se repete em intervalos de tempo iguais. O movimento do gira-gira é um exemplo perfeito.
- Exemplo do cotidiano: O movimento de um pêndulo de relógio, as fases da Lua, ou as estações do ano são todos fenômenos periódicos. Seus gráficos também seriam ondas que se repetem.
- Função Senoidal (Seno/Cosseno): São funções matemáticas cujos gráficos são ondas suaves. Elas são ideais para descrever a distância de um ponto em movimento circular a uma linha reta, exatamente como no nosso problema.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos imaginar que você está no ponto P do gira-gira. A Parede I é uma referência fixa. A gente vai “filmar” a sua distância até essa parede enquanto o brinquedo gira sem parar. No começo da filmagem (tempo T), você está o mais perto possível da parede. Conforme o brinquedo gira, você se afasta, atinge uma distância máxima e depois volta a se aproximar, repetindo tudo de novo. Qual dos gráficos se parece com essa “filmagem”?
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é analisar o que acontece com a distância D em uma volta completa:
- Verificar a distância no ponto de partida (tempo T).
- Analisar como a distância muda na primeira metade da volta.
- Verificar a distância no ponto oposto (meia volta).
- Analisar como a distância muda na segunda metade da volta.
- Lembrar que esse ciclo se repete.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir o ponto P em sua trajetória circular no sentido anti-horário:
- No instante T (início): O ponto P está na posição mais próxima da Parede I. Isso significa que a distância D está em seu valor mínimo. O gráfico deve começar em um “vale”.
- Após o início (primeira metade da volta): Conforme o brinquedo gira, o ponto P começa a se afastar da Parede I. A distância D começa a aumentar.
- Após meia volta (180°): O ponto P atinge a posição diametralmente oposta à inicial. Este é o ponto mais longe da Parede I. Aqui, a distância D atinge seu valor máximo. O gráfico deve atingir um “pico”.
- Após meia volta (segunda metade da volta): O ponto P continua seu giro, começando a se aproximar novamente da Parede I. A distância D começa a diminuir.
- Ao completar uma volta (360°): O ponto P retorna exatamente à sua posição inicial. A distância D volta ao seu valor mínimo. O gráfico completa um ciclo, retornando a um “vale”.
- Para várias voltas: Como o movimento é contínuo, esse ciclo de “vale-pico-vale” se repetirá indefinidamente, criando uma onda suave e contínua.
4.2 Verificação Intermediária
A “história” da distância D é: começa no mínimo, sobe suavemente até o máximo, desce suavemente até o mínimo, e repete.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha seria pensar que a distância aumenta e diminui de forma linear (como um gráfico de “zigue-zague”). No entanto, no movimento circular, a velocidade de afastamento/aproximação em relação à parede não é constante, o que gera uma curva suave, e não retas.
4.4 Fechamento e expectativa
Procuramos um gráfico que seja uma onda contínua, que comece no tempo T em um ponto de mínimo e se repita.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- (🔴) A) Círculo: Este não é um gráfico de função do tempo. Ele não mostra como D varia com t.
- (🔴) B) Linha vertical: Impossível. Significaria que no tempo T a criança estava em todas as distâncias ao mesmo tempo.
- (🟢) C) Onda começando no mínimo: Perfeito. No tempo T, a distância D está em seu valor mínimo. Ela aumenta até um máximo, diminui de volta ao mínimo e o padrão se repete. Exatamente o que descrevemos.
- (🔴) D) Onda começando no meio: Este gráfico começaria no tempo T com a distância D em um valor intermediário (nem mínimo, nem máximo). Isso aconteceria se a criança começasse na parte “de cima” ou “de baixo” do círculo.
- (🔴) E) Meia parábola: Este gráfico não mostra o movimento completo e nem o seu caráter repetitivo (periódico).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se analisar o movimento circular do ponto P em relação à Parede I. Identificamos que a distância D varia de forma periódica, começando em um valor mínimo no instante T, atingindo um máximo após meia volta e retornando ao mínimo após uma volta completa, gerando um gráfico senoidal.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C).
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se: a projeção de um movimento circular uniforme sobre um eixo sempre resulta em um gráfico de onda (seno ou cosseno). O ponto de partida do movimento define onde a onda “começa” (no pico, no vale ou no meio).
