Uma empresa de chocolates consultou o gerente de produção e verificou que existem cinco tipos diferentes de barras de chocolate que podem ser produzidas, com os seguintes preços no mercado:
• Barra I: R$ 2,00;
• Barra II: R$ 3,50;
• Barra III: R$ 4,00;
• Barra IV: R$ 7,00;
• Barra V: R$ 8,00.
Analisando as tendências do mercado, que incluem a quantidade vendida e a procura pelos consumidores, o gerente de vendas da empresa verificou que o lucro L com a venda de barras de chocolate é expresso pela função L(x) = – x² + 14x – 45, em que x representa o preço da barra de chocolate.
A empresa decide investir na fabricação da barra de chocolate cujo preço praticado no mercado renderá o maior lucro.
Nessas condições, a empresa deverá investir na produção da barra
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Quadrática (ou Função do 2º Grau)
- Vértice da Parábola (Ponto de Máximo e Mínimo)
Tema/Objetivo Geral: Análise de uma função quadrática para encontrar o valor de x que maximiza o valor de y (lucro), aplicando o conceito de vértice da parábola.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio, pois exige o conhecimento teórico sobre funções quadráticas, especificamente que o vértice de uma parábola com concavidade para baixo representa um ponto de máximo. O aluno precisa identificar qual fórmula usar (Xv ou Yv) e aplicá-la corretamente para, então, interpretar o resultado no contexto do problema.
Gabarito
Alternativa D). A resposta correta é a Barra IV, pois seu preço de R$ 7,00 é exatamente o valor que maximiza a função de lucro, correspondendo ao x do vértice da parábola.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A empresa decide investir na fabricação da barra de chocolate cujo preço praticado no mercado renderá o maior lucro.”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema pede para identificarmos qual das cinco barras de chocolate, com seus respectivos preços, deve ser produzida para que a empresa obtenha o lucro máximo possível.
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa meta é encontrar o “preço ideal” (x) que faz a função de lucro L(x) atingir seu valor máximo e, em seguida, verificar qual das barras tem esse preço.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que a pergunta não quer saber qual é o lucro máximo, mas sim qual preço leva a ele? Isso nos diz que precisamos encontrar o X do Vértice (Xv), e não o Y do Vértice (Yv)!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Função Quadrática: É uma função do tipo f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números e a não pode ser zero. Seu gráfico é uma curva chamada parábola.
- Parábola e o Vértice: O vértice é o “ponto de virada” da parábola.
- Se a > 0 (positivo), a parábola tem a “boca” virada para cima (parece um sorriso 😊), e o vértice é o ponto de mínimo.
- Se a < 0 (negativo), a parábola tem a “boca” virada para baixo (parece uma carinha triste ☹️), e o vértice é o ponto de máximo. É o nosso caso aqui!
- Coordenadas do Vértice (Xv, Yv):
- O Xv nos diz em qual valor de x o ponto máximo (ou mínimo) acontece.
- O Yv nos diz qual é o valor máximo (ou mínimo) da função.
- Fórmula do Xv: Xv = -b / (2a)
- Exemplo do cotidiano: Imagine que a função descreve a trajetória de uma bola chutada para cima. O Xv seria o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima, e o Yv seria a altura máxima que ela alcança.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Pense na função de lucro como uma montanha. O preço (x) é a sua posição na base da montanha, e o lucro (L) é a sua altitude. A gente quer subir até o ponto mais alto possível! A fórmula do X do Vértice é o mapa que nos diz exatamente em qual posição (preço) está o pico da montanha (lucro máximo).
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é:
- Identificar os coeficientes a e b da função de lucro L(x) = –x² + 14x – 45.
- Usar a fórmula do X do Vértice (Xv = -b / 2a) para encontrar o preço que gera o lucro máximo.
- Comparar o preço encontrado com os preços das barras de chocolate e escolher a correspondente.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
A função de lucro é: L(x) = –x² + 14x – 45
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função, comparando-a com ax² + bx + c:
- a = -1
- b = 14
- c = -45
Como a = -1 (um número negativo), a parábola tem a concavidade para baixo, o que confirma que o vértice é um ponto de máximo lucro.
Agora, vamos calcular o X do Vértice (o preço ideal):
- Xv = -b / (2a)
- Xv = -(14) / (2 * (-1))
- Xv = -14 / -2
- Xv = 7
O resultado nos diz que o preço que gera o maior lucro possível é R$ 7,00.
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos o preço ótimo: R$ 7,00. A etapa final é simplesmente verificar na lista de barras qual delas custa exatamente isso.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum seria tentar testar todos os cinco preços na função. Por exemplo, calcular L(2), L(3.5), L(4), L(7) e L(8). Isso funcionaria e te daria a resposta certa, mas levaria muito mais tempo e aumentaria a chance de erro de cálculo. Saber a fórmula do vértice é um atalho muito mais eficiente e seguro.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo indica que a barra de R$ 7,00 é a que trará mais lucro. Vamos procurar qual das barras corresponde a esse preço.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A), B), C): Incorretos. Seus preços estão abaixo do preço ótimo de R$ 7,00. Nesses casos, o lucro estaria “subindo a montanha”, mas ainda não teria chegado ao pico.
- (🟢) D) IV: Correto. O preço desta barra é de R$ 7,00, que é exatamente o valor do X do Vértice que calculamos. Portanto, é a que gera o lucro máximo.
- (🔴) E) V: Incorreto. Seu preço R$ 8,00 já passou do ponto ótimo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido ao identificar que a função de lucro era uma parábola com concavidade para baixo, cujo ponto de máximo é dado pelo vértice. Calculamos a coordenada X do vértice para encontrar o preço que maximiza o lucro e, em seguida, associamos esse preço à barra de chocolate correspondente.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) IV.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas que pedem o valor máximo ou mínimo de uma situação descrita por uma função quadrática, lembre-se do vértice! O Xv te dá “quando” acontece o máximo/mínimo, e o Yv te dá “qual é” esse valor.
