Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão de toques como senha.
Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões numeradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo.
Qual expressão representa o número total de códigos existentes?
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
- Potenciação
Tema/Objetivo Geral: Cálculo do número total de arranjos com repetição para diferentes comprimentos de senha, aplicando os princípios aditivo e multiplicativo da contagem.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil porque aplica diretamente o Princípio Fundamental da Contagem em um cenário com repetição. A interpretação é direta, e o cálculo se resume a operações de potenciação, sem a necessidade de fórmulas mais complexas como arranjo ou combinação.
Gabarito
Alternativa B). A expressão correta é 4⁵ + 4⁴ + 4³, pois ela representa a soma das possibilidades para senhas de 5 toques (4⁵), 4 toques (4⁴) e 3 toques (4³), já que o usuário pode escolher um ou outro tamanho de senha.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual expressão representa o número total de códigos existentes?”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos uma única expressão matemática que calcule a quantidade total de senhas possíveis, considerando que a senha pode ter 3, 4 ou 5 toques.
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa meta é calcular o número de senhas para cada tamanho separadamente e depois somar esses resultados para obter o total geral de possibilidades.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que a palavra “livremente” é a chave para entender que podemos repetir os toques (por exemplo, a senha “111” é válida)? Isso define qual princípio de contagem devemos usar.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC) – ou Princípio Multiplicativo: Se uma tarefa é composta por várias etapas independentes, o número total de maneiras de realizar a tarefa é o produto do número de maneiras de realizar cada etapa.
- Exemplo do cotidiano: Se você tem 3 camisas e 2 calças, o número total de “looks” que você pode montar é 3 × 2 = 6. Cada escolha (camisa e calça) é uma etapa.
- Arranjo com Repetição: É exatamente o nosso caso. Para cada posição da senha (cada toque), temos o mesmo número de opções disponíveis, pois podemos repetir as escolhas. Se temos n opções para cada uma das k posições, o total de arranjos é nᵏ.
- Princípio Aditivo: Se podemos escolher entre realizar a Tarefa A OU a Tarefa B (e não podemos fazer as duas ao mesmo tempo), o número total de opções é a soma das possibilidades de A com as de B. No nosso caso, o usuário escolhe criar uma senha de 3 toques OU de 4 toques OU de 5 toques.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você está criando uma senha e tem 4 “botões” (as regiões 1, 2, 3 e 4) para apertar. As regras são:
- Sua senha pode ter 3, 4 ou 5 “apertos”.
- Você pode apertar o mesmo botão várias vezes seguidas (ex: 2-2-4-2).
A gente precisa calcular quantas senhas diferentes dá pra criar com 3 apertos, quantas com 4, quantas com 5, e no final, somar tudo.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é:
- Calcular o número de senhas possíveis com 3 toques.
- Calcular o número de senhas possíveis com 4 toques.
- Calcular o número de senhas possíveis com 5 toques.
- Somar os três resultados, porque o usuário pode escolher um OU outro.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Em todos os casos, temos 4 opções de regiões (1, 2, 3 ou 4) para cada toque.
- Cenário 1: Senhas com 3 toques
- Para o 1º toque, temos 4 opções.
- Para o 2º toque, temos 4 opções.
- Para o 3º toque, temos 4 opções.
- Total de senhas = 4 × 4 × 4 = 4³
- Cenário 2: Senhas com 4 toques
- Para o 1º toque: 4 opções
- Para o 2º toque: 4 opções
- Para o 3º toque: 4 opções
- Para o 4º toque: 4 opções
- Total de senhas = 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁴
- Cenário 3: Senhas com 5 toques
- Para o 1º toque: 4 opções
- … (e assim por diante)
- Para o 5º toque: 4 opções
- Total de senhas = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵
- Número Total de Códigos
Como o usuário pode escolher uma senha de 3 toques, OU uma de 4 toques, OU uma de 5 toques, aplicamos o princípio aditivo e somamos as possibilidades:- Total = (Senhas de 3 toques) + (Senhas de 4 toques) + (Senhas de 5 toques)
- Total = 4³ + 4⁴ + 4⁵
4.2 Verificação Intermediária
A lógica está correta. Calculamos cada caso separadamente e somamos no final, pois são escolhas excludentes. A expressão encontrada (geralmente escrita do maior expoente para o menor: 4⁵ + 4⁴ + 4³) representa a soma de todas as possibilidades.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum seria usar o princípio multiplicativo no final e multiplicar os resultados (4³ × 4⁴ × 4⁵), o que está conceitualmente errado. Isso seria a resposta se o usuário tivesse que criar uma senha de cada tamanho. Como ele escolhe apenas um tamanho, nós somamos.
4.4 Fechamento e expectativa
A expressão que representa o total de códigos é a soma das potências que calculamos. Agora vamos procurar a alternativa que corresponde a essa soma.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 4⁵ – 4⁴ – 4³
B) 4⁵ + 4⁴ + 4³
C) 4⁵ × 4⁴ × 4³
D) (4!)⁵
E) 4⁵
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 4⁵ – 4⁴ – 4³: Incorreto. A operação correta é a soma, não a subtração.
- (🟢) B) 4⁵ + 4⁴ + 4³: Correto. Representa a soma do número de senhas possíveis para cada um dos comprimentos permitidos (3, 4 ou 5 toques).
- (🔴) C) 4⁵ × 4⁴ × 4³: Incorreto. Esta é a “alternativa-armadilha” que usa o princípio multiplicativo em vez do aditivo.
- (🔴) D) (4!)⁵: Incorreto. Fatorial (4!) seria usado se os toques não pudessem ser repetidos e usássemos todos os 4 números, o que não é o caso.
- (🔴) E) 4⁵: Incorreto. Esta expressão representa apenas as senhas de 5 toques, ignorando as de 3 e 4 toques.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se dividir o problema em três casos distintos (senhas de 3, 4 e 5 toques). Para cada caso, usamos o princípio multiplicativo para calcular as possibilidades (4³, 4⁴ e 4⁵). Como o usuário pode escolher um caso OU outro, usamos o princípio aditivo para somar os resultados, chegando à expressão final.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 4⁵ + 4⁴ + 4³.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da dica de ouro da Análise Combinatória: se a ideia é “e” (ex: escolher uma camisa E uma calça), você multiplica. Se a ideia é “ou” (ex: escolher uma senha de 3 toques OU de 4), você soma.
