Uma fatura mensal de água é composta por uma taxa fixa, independentemente do gasto, mais uma parte relativa ao consumo de água, em metro cúbico. O gráfico relaciona o valor da fatura com o volume de água gasto em uma residência no mês de novembro, representando uma semirreta.
Observa-se que, nesse mês, houve um consumo de 7 m³ de água. Sabe-se que, em dezembro, o consumo de água nessa residência, em metro cúbico, dobrou em relação ao mês anterior.
O valor da fatura referente ao consumo no mês de dezembro nessa residência foi
A) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00.
B) superior a R$ 80,00 e inferior a R$ 85,00.
C) superior a R$ 90,00 e inferior a R$ 95,00.
D) superior a R$ 95,00.
E) inferior a R$ 55,00.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática — Funções do 1º grau (reta), razão e interpretação de gráfico.
Tema/Objetivo Geral:
Encontrar a expressão linear que relaciona volume de água (m³) ao valor da fatura (R$) e usar essa função para calcular a fatura quando o consumo dobra.
Nível da Questão:
Médio. Exige leitura correta do gráfico para extrair pontos, cálculo da inclinação (taxa unitária) e aplicação da função linear; são operações simples, mas é preciso cuidado ao extrair os pontos e ao manter casas decimais.
Gabarito:
✅ Alternativa A) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00.
A função linear obtida é f(x) = 3,6x + 17; com consumo de 14 m³ (dobro de 7 m³), f(14) = 67,4, que está entre 65 e 70.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Observa-se que, nesse mês, houve um consumo de 7 m³ de água. Sabe-se que, em dezembro, o consumo de água nessa residência, em metro cúbico, dobrou em relação ao mês anterior. O valor da fatura referente ao consumo no mês de dezembro nessa residência foi …”
1.2 O que está sendo pedido?
Calcular o valor da fatura em dezembro, dado que o consumo dobrou (de 7 m³ para 14 m³), usando a relação indicada pelo gráfico.
1.3 Objetivo Cristalino
Determinar f(14) onde f(x) é a função linear que relaciona volume x (m³) ao valor da fatura em reais.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou de extrair corretamente dois pontos do gráfico (incluindo o intercepto) para montar a função e não confundir unidades (m³ e reais)?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Função afim (reta): f(x) = a·x + b, onde a é a inclinação (valor por unidade de x) e b é o valor quando x = 0 (taxa fixa).
- Inclinação (a): a = (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1).
- Interpretação prática: aqui b é a parte fixa da fatura (independente do consumo) e a·x é a parte variável proporcional ao consumo em m³.
Exemplo cotidiano: se f(x) = 2x + 10, então para x = 3, f(3) = 2*3 + 10 = 16.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Do gráfico obtemos dois pontos: quando o volume é 0 m³ a fatura vale R$ 17,00 (intercepto vertical); quando o volume é 7 m³ a fatura vale R$ 42,20. Precisamos usar esses pontos para achar a reta que dá o valor da fatura em função do volume.
3.2 Estratégia Geral
- Usar os pares (0, 17) e (7, 42,20) para calcular a inclinação a.
- Determinar o termo constante b (já é 17 pelo ponto em x = 0).
- Montar f(x) = a·x + b e calcular f(14) (consumo dobrado).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Escolher dois pontos do gráfico:
Ponto 1: x1 = 0, f(x1) = 17,00
Ponto 2: x2 = 7, f(x2) = 42,20
Calcular a inclinação (a):
a = (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1)
a = (42,20 − 17,00) / (7 − 0)
a = 25,20 / 7
a = 3,6
Determinar o termo constante (b):
Como f(0) = 17,00, temos b = 17,00
Montar a função:
f(x) = 3,6·x + 17
Calcular a fatura para dezembro (consumo dobrou: 14 m³):
f(14) = 3,6·14 + 17
f(14) = 50,4 + 17
f(14) = 67,4
Portanto, o valor da fatura em dezembro foi R$ 67,40.
4.2 Verificação Intermediária
Checar f(7): f(7) = 3,6·7 + 17 = 25,2 + 17 = 42,2 (confere com o ponto do gráfico). Bom sinal de consistência.
4.3 Possível armadilha
Erro comum: calcular a taxa como (42,20 − 17) = 25,20 e tomar 25,20% ou somar 25,2 a 42,2 em vez de dividir por 7; lembrar que a inclinação é por m³, então deve dividir por 7 para achar o acréscimo por unidade.
4.4 Fechamento e Expectativa
Esperamos um valor entre R$ 65,00 e R$ 70,00; o cálculo dá R$ 67,40.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00.
B) superior a R$ 80,00 e inferior a R$ 85,00.
C) superior a R$ 90,00 e inferior a R$ 95,00.
D) superior a R$ 95,00.
E) inferior a R$ 55,00.
5.2 Justificativa Individual
- A) 🟢 Correta.
f(14) = R$ 67,40, que está entre R$ 65,00 e R$ 70,00.
- B) 🔴 Errada.
Valores entre R$ 80,00 e R$ 85,00 seriam obtidos com inclinação ou intercepto muito maiores; não há suporte no gráfico.
- C) 🔴 Errada.
Valores entre R$ 90,00 e R$ 95,00 também não condizem com a reta determinada por (0,17) e (7,42,20).
- D) 🔴 Errada.
Superior a R$ 95,00 é incompatível com crescimento linear de 3,6 por m³ a partir de 17; para atingir R$ 95 seriam necessários mais de (95−17)/3,6 ≈ 21,7 m³, bem acima de 14 m³.
- E) 🔴 Errada.
Inferior a R$ 55,00 contradiz o cálculo: f(14) = 67,40 > 55,00.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio:
Extraiu-se a reta a partir dos pontos (0,17) e (7,42,20): inclinação 3,6 e intercepto 17. Aplicando x = 14 (dobro de 7) obtém-se f(14) = 67,40.
6.2 Gabarito Reafirmado:
✅ Alternativa A) superior a R$ 65,00 e inferior a R$ 70,00.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍:
Para uma relação linear leia dois pontos, calcule a inclinação com (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1), encontre o intercepto e substitua o novo x. Evite confundir diferença absoluta com diferença percentual.
