A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2 , poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras.
Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4 , poderia ser preenchido com:
A) 24 fusas.
B) 3 semínimas.
C) 8 semínimas.
D) 24 colcheias e 12 semínimas.
E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Básica (Operações com Frações: Soma e Multiplicação)
- Interpretação de Texto e Tabelas
- Raciocínio Lógico
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular a duração total de um trecho musical e verificar qual combinação de notas musicais (com durações fracionárias) preenche corretamente essa duração total.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão exige a aplicação de operações com frações em um contexto não tradicional (música). O aluno precisa:
1) Entender o conceito de compasso e sua fórmula.
2) Calcular a duração total do trecho musical multiplicando o número de compassos pela duração de cada um.
3) Testar cada alternativa, somando as durações das notas propostas para ver qual delas iguala a duração total calculada.
✅ Gabarito: Alternativa D.
Resumo: Primeiro, calculamos a duração total do trecho musical: 8 compassos × 3/4 por compasso = 24/4 = 6. O trecho inteiro deve ter uma duração total equivalente a 6 semibreves. Em seguida, testamos as alternativas. A alternativa D propõe 24 colcheias (24 × 1/8 = 3) e 12 semínimas (12 × 1/4 = 3). A soma dessas durações é 3 + 3 = 6, que corresponde exatamente à duração total necessária para preencher os oito compassos.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser preenchido com…”
O que está sendo pedido?
A questão nos dá a “receita” de um trecho musical (8 compassos, cada um valendo 3/4) e nos pede para encontrar, entre as cinco opções, qual combinação de notas musicais tem a duração exata para preencher todo esse trecho.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é um processo de duas etapas:
- Calcular a Duração Total: Descobrir qual a duração total que os 8 compassos de 3/4 representam.
- Verificar as Alternativas: Calcular a duração total de cada combinação de notas e ver qual delas bate com o resultado da primeira etapa.
🧠 A fórmula do compasso 3/4 significa que a soma das notas em CADA compasso deve ser 3/4. Se temos 8 desses compassos, qual é a operação matemática para achar a duração total?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Valores das Notas (da imagem):
- Semibreve = 1
- Mínima = 1/2
- Semínima = 1/4
- Colcheia = 1/8
- Semicolcheia = 1/16
- Fusa = 1/32
- Semifusa = 1/64
- Fórmula de Compasso (ex: 3/4):
- O número de cima (numerador, 3) indica quantos tempos há em cada compasso.
- O número de baixo (denominador, 4) indica qual nota vale 1 tempo. O número 4 representa a Semínima.
- Portanto, um compasso 3/4 tem a duração total de 3 semínimas (ou 3 x 1/4 = 3/4).
- Operações com Frações:
- Multiplicação: (a/b) × c = (a × c) / b
- Soma: Para somar frações, elas precisam ter o mesmo denominador.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que estamos montando 8 caixas (os compassos). Em cada caixa, só cabem “objetos” cuja soma dos pesos seja exatamente 3/4 kg (a fórmula do compasso). Nossa missão é encher todas as 8 caixas. O problema nos dá cinco opções de “lotes de objetos” (as combinações de notas) e pergunta: qual desses lotes tem o peso total exato para encher as 8 caixas perfeitamente?
Estratéia Geral 🗺️
- Calcular o “peso” total necessário para encher as 8 caixas.
- Calcular o “peso” de cada lote de objetos nas alternativas.
- Encontrar o lote cujo peso total seja igual ao peso necessário.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Calcular a Duração Total do Trecho Musical:
- Número de compassos = 8.
- Duração de cada compasso = 3/4.
- Duração Total = 8 × (3/4)
- Duração Total = (8 × 3) / 4 = 24 / 4
- Duração Total = 6
- Interpretação: O trecho todo tem uma duração equivalente a 6 semibreves (ou 24 semínimas, já que 6 / (1/4) = 24).
2. Calcular a Duração de Cada Alternativa e Comparar com a Duração Total (6):
- A) 24 fusas:
- Duração = 24 × (valor da fusa) = 24 × (1/32) = 24/32 = 3/4. (❌ Insuficiente)
- B) 3 semínimas:
- Duração = 3 × (valor da semínima) = 3 × (1/4) = 3/4. (❌ Insuficiente, preenche apenas 1 compasso).
- C) 8 semínimas:
- Duração = 8 × (valor da semínima) = 8 × (1/4) = 8/4 = 2. (❌ Insuficiente)
- D) 24 colcheias e 12 semínimas:
- Duração das colcheias = 24 × (valor da colcheia) = 24 × (1/8) = 24/8 = 3.
- Duração das semínimas = 12 × (valor da semínima) = 12 × (1/4) = 12/4 = 3.
- Duração Total da Alternativa = 3 + 3 = 6. (✔️ Corresponde!)
- E) 16 semínimas e 8 semicolcheias:
- Duração das semínimas = 16 × (1/4) = 16/4 = 4.
- Duração das semicolcheias = 8 × (1/16) = 8/16 = 1/2.
- Duração Total da Alternativa = 4 + 1/2 = 4,5. (❌ Insuficiente)
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é um erro no cálculo de frações ou na interpretação do que significa a fórmula de compasso. Um aluno poderia pensar que o total é 8 compassos de 3 notas cada, totalizando 24 notas, e procurar a alternativa que soma 24 notas (como a A), ignorando as durações diferentes.
Fechamento e Expectativa
A única combinação de notas cuja soma das durações resulta em 6 (a duração total necessária) é a da alternativa D.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 24 fusas. Soma da duração = 3/4.
🔴 B) 3 semínimas. Soma da duração = 3/4.
🔴 C) 8 semínimas. Soma da duração = 2.
🟢 D) 24 colcheias e 12 semínimas. Soma da duração = (24 × 1/8) + (12 × 1/4) = 3 + 3 = 6. Correta.
🔴 E) 16 semínimas e 8 semicolcheias. Soma da duração = (16 × 1/4) + (8 × 1/16) = 4 + 1/2 = 4,5.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema pedia para identificar qual combinação de notas poderia preencher um trecho musical de 8 compassos com fórmula 3/4. Primeiro, calculamos a duração total do trecho multiplicando o número de compassos pela duração de cada um: 8 × 3/4 = 6. Em seguida, calculamos a duração total de cada uma das combinações de notas propostas nas alternativas. A única alternativa cuja soma das durações é igual a 6 foi a D: a duração de 24 colcheias (24 × 1/8 = 3) somada à duração de 12 semínimas (12 × 1/4 = 3) resulta em 6.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas que misturam contextos (como música) com matemática, o primeiro passo é sempre “traduzir” o problema para a linguagem matemática pura.
- “8 compassos de 3/4” → Duração Total = 8 × 3/4.
- “24 colcheias” → Duração = 24 × 1/8.
Uma vez traduzido, o problema se torna um simples exercício de frações.
