O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
A) 2 × (0,2%)4.
B) 4 × (0,2%)2.
C) 6 × (0,2%)2 × (99,8%)2.
D) 4 × (0,2%).
E) 6 × (0,2%) × (99,8%).
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória (Combinação Simples)
- Probabilidade (Probabilidade Binomial)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular a probabilidade de ocorrência de um número exato de “sucessos” (aparelhos defeituosos) em um número fixo de tentativas independentes (os 4 aparelhos vendidos), aplicando a fórmula da Distribuição Binomial.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão não pode ser resolvida com uma simples multiplicação de probabilidades. O aluno precisa reconhecer que a ordem em que os defeitos ocorrem não importa (ou seja, os dois aparelhos defeituosos podem ser o 1º e o 2º, ou o 1º e o 3º, etc.). Isso exige o uso de uma combinação para calcular o número de arranjos possíveis, que é a essência da fórmula da Probabilidade Binomial.
✅ Gabarito: Alternativa C.
Resumo: Este é um problema de Probabilidade Binomial. Queremos 2 sucessos (defeituosos) e 2 fracassos (não defeituosos) em 4 tentativas. A probabilidade de sucesso (P) é 0,2%, e a de fracasso (Q) é 99,8%. O número de maneiras de arranjar 2 defeituosos em 4 aparelhos é dado pela combinação C(4, 2), que é 6. A probabilidade final é o número de arranjos multiplicado pela probabilidade de uma sequência específica: C(4, 2) × P² × Q² = 6 × (0,2%)² × (99,8%)².
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?”
O que está sendo pedido?
A questão pede a probabilidade de um evento específico: dos 4 aparelhos comprados, 2 devem ser defeituosos e, consequentemente, os outros 2 devem estar funcionando perfeitamente.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é calcular a probabilidade de uma sequência específica (ex: Defeito, Defeito, Bom, Bom) e, em seguida, multiplicar essa probabilidade pelo número de todas as sequências possíveis que contêm dois defeituosos e dois bons.
🧠 Se você quer dois aparelhos com defeito, basta multiplicar a probabilidade de defeito por si mesma (0,2% × 0,2%)? Não! E os outros dois aparelhos que devem ser bons? E as diferentes posições em que os aparelhos defeituosos podem aparecer na sua compra?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Probabilidade Binomial: Usada quando temos uma situação com as seguintes características:
- Um número fixo de tentativas independentes (n).
- Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: “sucesso” ou “fracasso”.
- A probabilidade de sucesso (p) é a mesma em cada tentativa.
- A probabilidade de fracasso (q) é 1 – p.
A pergunta é: Qual a probabilidade de ter exatamente k sucessos em n tentativas?
- Fórmula da Probabilidade Binomial:
P(k) = C(n, k) ⋅ pᵏ ⋅ qⁿ⁻ᵏ- C(n, k): Combinação de n elementos tomados k a k. É o número de maneiras de escolher k posições para os sucessos entre as n tentativas. A fórmula é C(n, k) = n! / (k! . (n-k)!).
- pᵏ: A probabilidade de ocorrerem k sucessos.
- qⁿ⁻ᵏ: A probabilidade de ocorrerem (n-k) fracassos.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você comprou 4 “raspadinhas”. A chance de uma raspadinha ser “premiada” (ter defeito) é de 0,2%. A chance de não ser premiada é de 99,8%. A pergunta é: qual a chance de você ter exatamente 2 raspadinhas premiadas?
Não basta calcular a chance de as duas primeiras serem premiadas e as duas últimas não. As raspadinhas premiadas podem ser a primeira e a terceira, a segunda e a quarta, etc. Precisamos calcular todas essas possibilidades. É um problema de duas partes:
- Cálculo das Chances: Qual a probabilidade de uma combinação específica (ex: Premiada, Premiada, Não, Não)?
- Cálculo dos Arranjos: De quantas maneiras diferentes podemos arranjar 2 premiadas em 4 raspadinhas?
A resposta final é a multiplicação desses dois resultados.
Estratéia Geral 🗺️
- Identificar os parâmetros da Probabilidade Binomial (n, k, p, q).
- Calcular o número de combinações C(n, k).
- Montar a expressão final usando a fórmula.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Identificar os Parâmetros do Problema:
- Número de tentativas (aparelhos vendidos): n = 4.
- Número de “sucessos” desejados (aparelhos defeituosos): k = 2.
- Probabilidade de sucesso (um aparelho ter defeito): p = 0,2%.
- Probabilidade de “fracasso” (um aparelho NÃO ter defeito): q = 100% – 0,2% = 99,8%.
- Número de fracassos: n – k = 4 – 2 = 2.
2. Calcular o Número de Combinações (C(n, k)):
Precisamos saber de quantas maneiras diferentes podemos ter 2 aparelhos defeituosos (D) e 2 bons (B) em um grupo de 4. As possibilidades são:
DDBB, DBDB, DBBD, BDDB, BDBD, BBDD.
São 6 possibilidades. Podemos calcular isso formalmente com a combinação:
- C(4, 2) = 4! / (2! . (4-2)!)
- C(4, 2) = 4! / (2! . 2!)
- C(4, 2) = (4 × 3 × 2 × 1) / ((2 × 1) × (2 × 1))
- C(4, 2) = 24 / 4
- C(4, 2) = 6
Isso significa que existem 6 arranjos diferentes para o nosso resultado.
3. Montar a Expressão da Probabilidade Final:
Usamos a fórmula P(k) = C(n, k) ⋅ pᵏ ⋅ qⁿ⁻ᵏ.
- P(2 defeituosos) = C(4, 2) ⋅ (prob. de defeito)² ⋅ (prob. de não defeito)²
- P(2 defeituosos) = 6 ⋅ (0,2%)² ⋅ (99,8%)²
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é esquecer o fator da combinação (o número 6). Um aluno pode pensar que a resposta é simplesmente (0,2%)² × (99,8%)², ignorando que existem múltiplas maneiras de se obter esse resultado. As alternativas são estruturadas para testar exatamente esse conhecimento.
Fechamento e Expectativa
O raciocínio nos leva a uma expressão que deve conter o fator 6, o termo de sucesso ao quadrado e o termo de fracasso ao quadrado.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 2 × (0,2%)⁴.
Incorreta. Usa o número errado de combinações e a probabilidade errada (como se todos os 4 fossem defeituosos).
🔴 B) 4 × (0,2%)².
Incorreta. Esquece a probabilidade dos dois aparelhos bons e usa o número errado de combinações.
🟢 C) 6 × (0,2%)² × (99,8%)².
Correta. Corresponde perfeitamente à fórmula da Probabilidade Binomial para este caso: C(4,2) = 6 (combinações), (0,2%)² (probabilidade de 2 defeituosos) e (99,8%)² (probabilidade de 2 não defeituosos).
🔴 D) 4 × (0,2%).
Incorreta. Não faz sentido probabilístico para o problema.
🔴 E) 6 × (0,2%) × (99,8%).
Incorreta. Faltam os expoentes 2 em cada termo de probabilidade, pois são 2 aparelhos de cada tipo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema descreve um cenário de distribuição binomial, onde se busca a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas. No caso, temos n=4 aparelhos, e queremos k=2 sucessos (defeituosos). A probabilidade de sucesso é p=0,2% e a de fracasso é q=99,8%. A fórmula da probabilidade binomial é P(k) = C(n, k) ⋅ pᵏ ⋅ qⁿ⁻ᵏ. O número de maneiras de escolher 2 aparelhos defeituosos entre 4 é C(4, 2) = 6. A probabilidade de 2 serem defeituosos é (0,2%)² e a de 2 serem bons é (99,8%)². Juntando tudo, a probabilidade total é 6 × (0,2%)² × (99,8%)².
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de probabilidade com “exatamente K sucessos em N tentativas”, lembre-se da receita do bolo Binomial:
- Calcule as Combinações: De quantas formas o resultado pode acontecer? ( C(n,k) ).
- Calcule a Probabilidade de Sucesso: ( pᵏ ).
- Calcule a Probabilidade de Fracasso: ( qⁿ⁻ᵏ ).
- Multiplique tudo!
