A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, …, 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última.
Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
A) 1 1/2 vez menor.
B) 2 1/2 vezes menor.
C) 4 vezes menor.
D) 9 vezes menor.
E) 14 vezes menor.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória
- Cálculo de Combinação Simples
- Interpretação de Problemas e Razão
Tema/Objetivo Geral:
- Comparar a quantidade de resultados favoráveis (acertar a quina) entre duas estratégias de aposta diferentes em uma loteria, utilizando o conceito de combinação.
Nível da Questão
- Difícil – A questão é considerada difícil porque não se trata de um simples cálculo de combinação. Ela exige que o aluno interprete um cenário complexo, modele matematicamente duas estratégias distintas, calcule o número de eventos favoráveis para cada uma e, por fim, estabeleça uma relação de proporção entre elas. A abstração necessária para entender que se deve calcular “combinações dentro de combinações” é o principal desafio.
Gabarito
- C) 4 vezes menor. – A alternativa está correta porque a primeira estratégia (84 apostas de 6 dezenas) gera um total de 504 combinações de 5 números, enquanto a segunda estratégia (uma aposta de 9 dezenas) gera 126 combinações. A razão entre elas é 4.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A parte crucial do enunciado é: “é melhor que essa pessoa faça 84 apostas […] do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão nos pede para comparar a “quantidade de chances” de acertar 5 números em duas situações diferentes:
- Fazendo 84 jogos separados de 6 números.
- Fazendo 1 jogo único com 9 números.
Precisamos descobrir quantas vezes a segunda opção é menos provável que a primeira.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o número total de “quinas” (grupos de 5 números) que cada estratégia gera e, em seguida, dividir um pelo outro para encontrar a razão entre elas.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o problema não pede para calcular a probabilidade real de ganhar na Mega Sena (que envolveria dividir pelo total de combinações possíveis com 60 dezenas)? A questão foca apenas na comparação do número de resultados favoráveis que cada aposta oferece.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Combinação Simples (C(n, p)): É a ferramenta que usamos para formar grupos de ‘p’ elementos a partir de um conjunto maior de ‘n’ elementos, onde a ordem da escolha não importa. Em uma loteria, a ordem em que os números são sorteados não altera o resultado; o que importa é o conjunto final de números.
- Fórmula: C(n, p) = n! / (p! * (n-p)!)
- Onde:
- n é o número total de elementos disponíveis para escolha.
- p é o número de elementos que vamos escolher para formar o grupo.
- ! (fatorial) significa multiplicar o número por todos os seus antecessores inteiros até 1 (ex: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar assim: cada aposta que você faz contém várias “mini-apostas” de 5 números (quinas) dentro dela. A nossa tarefa é contar quantas dessas “mini-apostas” existem em cada uma das duas estratégias. A estratégia que tiver mais “mini-apostas” é a que te dá mais chances de acertar a quina. Depois, vamos ver quantas vezes uma é melhor que a outra.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Analisar a Estratégia 1: Calcular quantas quinas diferentes existem em UMA aposta de 6 dezenas e depois multiplicar por 84 (o número de apostas).
- Analisar a Estratégia 2: Calcular quantas quinas diferentes existem em UMA aposta de 9 dezenas.
- Comparar: Dividir o total de chances da Estratégia 1 pelo total da Estratégia 2 para encontrar a proporção.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Estratégia 1: 84 apostas de 6 dezenas
Primeiro, vamos descobrir quantas quinas (grupos de 5 números) uma única aposta de 6 dezenas contém. Aqui, n=6 (números que temos) e p=5 (números que queremos acertar).
- C(6, 5) = 6! / (5! * (6-5)!)
C(6, 5) = 6! / (5! * 1!)
C(6, 5) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((5 * 4 * 3 * 2 * 1) * 1)
Podemos simplificar cortando o 5!:
C(6, 5) = 6 / 1 = 6
- Isso significa que cada aposta de 6 dezenas contém 6 combinações de 5 dezenas (quinas) possíveis.
- Como a pessoa fez 84 apostas, o total de chances de acertar a quina é:
Total de Chances (Estratégia 1) = 84 apostas * 6 quinas/aposta = 504 quinas.
Estratégia 2: 1 aposta de 9 dezenas
Agora, vamos descobrir quantas quinas uma aposta de 9 dezenas contém. Aqui, n=9 e p=5.
- C(9, 5) = 9! / (5! * (9-5)!)
C(9, 5) = 9! / (5! * 4!)
C(9, 5) = (9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * (4 * 3 * 2 * 1))
Simplificando o 5!:
C(9, 5) = (9 * 8 * 7 * 6) / (4 * 3 * 2 * 1)
C(9, 5) = 3024 / 24
C(9, 5) = 126
- Total de Chances (Estratégia 2) = 126 quinas.
Comparação das Estratégias
Agora, vamos comparar quantas vezes a Estratégia 1 é melhor que a Estratégia 2.
Razão = Total de Chances (Estratégia 1) / Total de Chances (Estratégia 2)
Razão = 504 / 126
Razão = 4
Isso significa que a probabilidade de acertar a quina na Estratégia 1 é 4 vezes maior que na Estratégia 2. Portanto, a probabilidade na Estratégia 2 é 4 vezes menor que na Estratégia 1.
4.2 Verificação Intermediária
Os custos batem: 84 apostas * R$1,50 = R$ 126,00. Uma aposta de 9 dezenas também custava R$ 126,00 na época. Os cálculos das combinações estão corretos e a comparação final é uma divisão simples.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é a interpretação. Um aluno poderia pensar em calcular a probabilidade completa (dividindo por C(60,6)), o que seria desnecessário e muito mais trabalhoso. Outra armadilha seria não entender o que “acertar cinco das seis dezenas” significa em termos de combinação, levando a cálculos errados como C(84,5) ou C(126,5), que não fazem sentido no contexto.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo mostrou que a chance na segunda estratégia é 4 vezes menor. Esperamos encontrar essa relação descrita em uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 1 1/2 vez menor.
- B) 2 1/2 vezes menor.
- C) 4 vezes menor.
- D) 9 vezes menor.
- E) 14 vezes menor.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A), (B), (D), (E): Incorretas. Esses valores não correspondem à razão de 4 que encontramos ao dividir 504 por 126.
- 🟢 (C) 4 vezes menor: Correto. Esta alternativa descreve exatamente a relação que calculamos entre as duas estratégias.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida ao quantificar o número de resultados favoráveis (quinas) para cada uma das duas estratégias de aposta. Utilizamos a fórmula da combinação simples para determinar quantas quinas estão contidas em cada tipo de aposta e, em seguida, comparamos os totais, descobrindo que a primeira estratégia oferece 4 vezes mais chances que a segunda.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C, pois a probabilidade de acertar a quina com uma aposta de 9 dezenas é 4 vezes menor do que com 84 apostas de 6 dezenas.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para comparar diferentes tipos de apostas em loterias, a melhor abordagem é sempre calcular a quantas “apostas simples” (em termos de chances para um prêmio específico) a aposta complexa equivale. Neste caso, uma aposta de 9 dezenas equivale a 126 chances de quina, enquanto 84 apostas simples equivalem a 504 chances.
