Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
A) V = 10.000 + 50x – x².
B) V = 10.000 + 50x + x².
C) V = 15.000 – 50x – x².
D) V = 15.000 + 50x – x².
E) V = 15.000 – 50x + x².
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática – Função de 2º grau e interpretação de problema algébrico.
Tema / Objetivo Geral:
Construção da função de 2º grau a partir de uma situação-problema envolvendo preço e quantidade vendida.
Nível da Questão:
Médio – exige boa interpretação do enunciado e habilidade algébrica para montar e desenvolver uma expressão simbólica corretamente.
Gabarito:
✅ Alternativa D) V = 15.000 + 50x – x².
Essa alternativa está correta porque representa fielmente o produto entre o preço por litro e a quantidade vendida, considerando o desconto e o aumento proporcional nas vendas.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial:
“Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é…”
1.2 O que está sendo pedido?
Encontrar a expressão algébrica que relaciona a arrecadação diária (V) com o desconto (x).
1.3 Objetivo Cristalino:
Determinar a função de 2º grau V(x) que indica o valor total arrecadado conforme o desconto em centavos.
1.4 Pergunta de Atenção:
Você lembra como construir uma função multiplicando preço por quantidade vendida?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / Explicação de Termos:
- Função de 2º grau: tem a forma geral y = ax² + bx + c, onde a ≠ 0.
- Arrecadação total (V): é o produto entre o preço unitário e a quantidade vendida.
→ Fórmula: V = preço * quantidade - Variação linear: o preço diminui 0,01 real (ou 1 centavo) a cada aumento de 100 litros.
- Transformação de centavos para reais: se o desconto é x centavos, em reais é 0,01x.
Exemplo cotidiano:
Se o preço de um lanche é R$ 10,00 e você dá 1 real de desconto, o novo preço é 10 – 1 = 9 reais.
O mesmo raciocínio vale aqui, só que em centavos.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada:
O posto vende 10.000 litros a R$ 1,50 cada.
Cada vez que o dono dá 1 centavo de desconto, ele vende 100 litros a mais.
Precisamos montar uma função que calcule quanto ele arrecada no total dependendo desse desconto.
3.2 Estratégia Geral:
- Representar o preço e a quantidade em função de x.
- Multiplicar as duas expressões para achar V(x), que será uma função quadrática.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado:
1️⃣ Preço do litro após o desconto:
Preço = 1,50 – 0,01x
2️⃣ Quantidade vendida após o desconto:
Quantidade = 10.000 + 100x
3️⃣ Arrecadação total:
V = (1,50 – 0,01x) * (10.000 + 100x)
Agora, vamos desenvolver o produto termo a termo:
V = 1,50 * 10.000 + 1,50 * 100x – 0,01x * 10.000 – 0,01x * 100x
V = 15.000 + 150x – 100x – x²
V = 15.000 + 50x – x²
4.2 Verificação Intermediária:
No caso sem desconto (x = 0):
V = 15.000 + 0 – 0 = 15.000 R$,
que confere com 10.000 litros * 1,50 = 15.000. Tudo certo ✅
4.3 Possível Armadilha:
Você poderia ter esquecido de converter o desconto em centavos para reais — é comum usar “x” direto em vez de “0,01x”, o que distorceria o resultado.
4.4 Fechamento e Expectativa:
Portanto, a função arrecadação é V = 15.000 + 50x – x², uma parábola voltada para baixo.
Agora, vamos conferir nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas:
A) V = 10.000 + 50x – x²
B) V = 10.000 + 50x + x²
C) V = 15.000 – 50x – x²
D) V = 15.000 + 50x – x²
E) V = 15.000 – 50x + x²
5.2 Justificativa Individual:
🔴 A) Errada — usa 10.000 como valor inicial, mas a arrecadação sem desconto é 15.000.
🔴 B) Errada — além do valor inicial incorreto, o termo +x² indica parábola voltada para cima, o que não faz sentido aqui, pois aumentar muito o desconto reduz a arrecadação.
🔴 C) Errada — inverte o sinal de “50x”, mostrando que o desconto diminuiria o lucro de início, quando na verdade ele aumenta as vendas.
🟢 D) Correta — confere exatamente com o desenvolvimento da expressão: V = 15.000 + 50x – x².
🔴 E) Errada — o sinal de +x² também está incorreto, pois a função deve ter concavidade para baixo (a = -1).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio:
O valor arrecadado depende simultaneamente do preço (que cai com o desconto) e da quantidade vendida (que aumenta). Ao multiplicar essas duas variações, obtemos uma função quadrática.
6.2 Gabarito Reafirmado:
✅ Alternativa D) V = 15.000 + 50x – x².
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se: sempre que o preço diminui e a quantidade aumenta, o total arrecadado forma uma função do 2º grau, porque é o produto entre duas variações lineares.
